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Mostrando las entradas de octubre, 2013

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TRABAJO EN LOS PROCESOS TERMODINAMICOS Parte 2

 Este trabajo depende de la trayectoria seguida para realizar el proceso entre los estados inicial y final, como se ilustra con la figura 13.6. Si el proceso que se realiza es a volumen constante Vi disminuyendo la presión desde Pi hasta Pf, seguida de un proceso a presión constante Pf aumentando el volumen desde Vi hasta Vf (figura 13.6a), el valor del trabajo es diferente al que se obtiene en un proceso donde primero se produce una expansión desde Vi hasta Vf a presión constante Pi y después se disminuye la presión desde Pi hasta Pf, manteniendo constante el volumen final Vf (figura 13.6b). Las áreas bajo las curvas en cada caso, tienen un valor diferente, es mayor en la figura 13.6b. Por lo tanto, el trabajo realizado por un sistema depende del proceso por el cual el sistema cambia desde un estado inicial a otro final. De manera similar se encuentra que el calor transferido hacia adentro o hacia fuera del sistema, depende del proceso. Tanto el calor como el trabajo dependen de los e

Problema de Sistemas con resistencia interna despreciable

Una esfera de aluminio que pesa 7kg cuya temperatura inicial es de 260°C se sumerge súbitamente en un fluido cuya temperatura e de 10°C. Suponiendo que h = 50 W/m².k, determine el tiempo que se requiere para enfriar el aluminio a 90°C. Solución

Sistemas con resistencia interna despreciable (IX)

También es importante observar que el exponente (hAt/ρcV), no tiene dimensiones, que se puede escribir como producto de dos números sin dimensiones. Estos números son de importancia considerable en la conducción de calor transitorio y aparecerán continuamente a lo largo del resto de este blog. Dichos factores son el número de Biot y el número de Fourier. Elnúmero de Biot se define como Bi = (hLc/k) El número de Fourier, también conocido como módulo de Fourier, es un agrupamiento que representa al tiempo sin dimensión y se define como:

Sistemas con resistencia interna despreciable (VIIII)

Esto significa que al final de un periodo igual a una constate de tiempo, la diferencia en la temperatura del cuerpo y la del fluido ambiente debe ser 36,8% de la temperatura inicial; o en otras palabras, se deberá reducir la diferencia de temperatura en 63.2%. Para fines prácticos, se dice que un sistema alcanza estado estacionario después que transcurre un tiempo igual a cuatro constantes de tiempo; por ejemplo.

Sistemas con resistencia interna despreciable (VIII)

La ecuación (4-4) nos da la temperatura como función del tiempo para un cuerpo que inicialmente se encuentra a una temperatura To, y que se encuentra situado en un medio ambiente convectivo a una temperatura T∞, para valores de, número de Biot mejores que 0.1. La cantidad (ρcV/hA) que aparece en la ecuación (4-4) tiene unidades de tiempo y nos referimos con frecuencia a ella como la constante de tiempo del sistema. En el tiempo t, igual a una constante de tiempo.

Sistemas con resistencia interna despreciable (VII)

Otro enfoque del mismo problema consiste en definir una nueva variable dependiente T - T(infinito) y observar que d(T - T∞)/dt es igual que a dT/dt cuando T∞ es igual a una constante. Esto nos permite describir la ecuación (4-3) como

Sistemas con resistencia interna despreciable (VI)

Todos los demás términos son iguales que como se definieron previamente, y se supone que todas las propiedades térmicas son constantes. En el miembro de la derecha de la igualdad aparece un signo menos debido a que la energía interna decrece con el tiempo si la bola pierde calor. Para resolver la ecuación (4-2), la escribimos como La ecuación (4-3) es una ecuación diferencial ordinaria no homogénea con coeficiente constantes, que describe a T como función de t, cuyo término en el lado derecho de la igualdad representa la no homogeneidad (dicho término no contiene a la variable dependiente T). Para resolver (4.3), podemos hacer el miembro de la derecha igual a cero y usar separación de variables para determinar la solución complementaria o transitoria, Tc. Luego, observando que la parte no homogénea  de la ecuación diferencial es una constante, debemos suponer que T = K (constante) y substituimos de nuevo en la ecuación (4-3) para determinar la solución particular o de estado est

Sistemas con resistencia interna despreciable (V)

Permitanos considerar que una bola de acero se use como bola de soporte, la cual experimenta un proceso de tratamiento con calor. Se le lleva hacia afuera de un horno a una temperatura inicial uniforme To, y se enfría en una tina de aceite que se mantiene a una temperatura igual a T(infinito). El coeficiente convectivo de transferencia de calor entre la bola de acero y el aceite es h, el área de la superficie de la bola es A, su volumen es V, y su conductividad térmica es k. Cuando se calcula el número de Biot,  éste resulta ser menor que 0.1, por lo tanto se puede aplicar el concepto de resistencia interna despreciable. Para determinar la ecuación diferencial que describe a la temperatura de la bola de acero como función del tiempo, escribimos un balance de energía en la bola de acero.

Sistemas con resistencia interna despreciable (IV)

Se ha encontrado, para formas geométricas sencillas, como placas, cilindros, y esferas, que si Bi < 0.1, el error que se introduce al suponer que la temperatura es uniforme en el espacio, es un instante dado, es menor que 5%. En la tabla 4-1 se registran algunas de las longitudes características que con más frecuencia son encontradas.

Sistemas con resistencia interna despreciable (III)

Los sistemas analizar se limitan a aquiellos que están a una temperatura uniforme inicial dada, To,  a través de todo el sistema y que se encuentran colocados en un nuevo medio ambiente a una temperatura constante T(infinito). Además, el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el sólido y el nuevo ambiente h, y es constante, y la razón entre la resistencia externa y la resistencia interna del sistema es grande. Se introduce un número sin dimensiones, llamado número de Biot, con el fin de determinar la validez del enfoque del parámetro en bulto. El número de Biot es la razón entre la resistencia interna y la resistencia externa. En consecuencia, un número de Biot pequeño indica un valor bajo de la resistencia interna en relación con la resistencia externa, y por lo tanto satisface el prerrequisito para considerarle como un sistema de resistencia interna despreciable. Al escribir el número de Biot observamos que:

Sistemas con resistencia interna despreciable (II)

Con respecto a la figura del anterior post, admitimos que Rconv, sea 999 veces Rcond, un caso en que la resistencia convectiva externa es mucho mayor que la resistencia conductiva interna. Observamos que para un instante dado, si T(infinito) fuera de 100°F y Tc fuera de 0°F, entonces Tsuperficie deberia ser de 0.1°F, ya que. y que la diferencia de temperatura máxima en el sólido en dicho instante debería ser de 0.1°F. Por lo tanto, si decimos que la temperatura en el sólido es independiente de la posición dentro del cuerpo, nuestro enunciado será exacto salvo por un rango de error de 0.1°F. Si ahora permitimos que T(infinito) varie con el tiempo, encontramos que, para todos los fines prácticos, la temperatura es uniforme a través del cuerpo en un tiempo dado cualquiera, variando tan solo por una fracción de grado. Este es el concepto básico que se encuentra detrás del análisis de sistemas que tienen resistencias interna despreciable. A dicho enfoque se le llama algunas veces

Sistemas con resistencia interna despreciable (I)

La clase de problemas transitorios que mejor se presentan para ser analizados son aquellos que tienen una resistencia interna al flujo de calor despreciable. En dichos problemas, la resistencia conectiva en la frontera del sistema es muy grande, comparada con la resistencia interna debida a la conducción. En esencia, el sólido se comporta como si tuviera una conductividad térmica infinita en el sentido de que la temperatura es siempre uniforme a través de todo el sólido y varias únicamente con el tiempo. En la realidad, nunca es posible conseguir con precisión dicha situación, ya que todos los materiales tienen una conductividad térmica finita y, al agregar o quitar calor, deben existir gradientes de temperatura según lo demuestra la ley de conducción de calor de Fourier, Q = -kA(δT/δn). Sin embargo, cuando la resistencia convectiva en la frontera del sólido es grande, comparada con la resistencia interna debido a la conducción, la parte principal de la variación de temperatura espacia

Conducción de calor transitorio (II)

En muchos problemas de interés para la ingeniería, se requiere saber qué tanto tiempo tomará que cambie la temperatura en una cantidad específica y en un punto dado dentro de un cuerpo si es que se alteran bruscamente las condiciones térmicas en la superficie del cuerpo. En este capítulo buscaremos las formas de determinar distribuciones de temperatura para conducción de calor transitorio. Para problemas de conducción de calor transitorio unidimensional, la complejidad de la solución es comparable a la que se presenta en la sección 3-4 para conducción de calor bidimensional bajo condiciones de estado estacionario. Los problemas de conducción de calor transitorio bi y tridimensional son más complicados aún. El enfoque más poderoso y que más comunmente  se usa es el método de las diferencias finitas, que se presentará en el siguiente capitulo. En este capitulo se hace énfasis en soluciones por cartas. Una solución por cartas es sencillamente una gráfica de una solución analítica  pa

Conducción de calor transitorio (I)

En nuestra discusión de conducción de calor, hemos estado restringidos, hasta aquí, a situaciones en que la temperatura varía únicamente con respecto a las coordenadas en el espacio. Sin embargo,en muchos problemas de ingeniería, la temperatura puede variar también con el tiempo. De hecho, siempre que se cambian las temperaturas impuestas en la frontera, ocurre una situación de estado no estacionaria, siendo la temperatura función del tiempo, así como de la posición. Si finalmente se alcanza un estado estacionario, este es el límite de la distribución de la temperatura transitoria para valores grandes del tiempo. El tiempo que se requiere para alcanzar un estado estacionario, depende del problema que estamos tratando en un momento dado. El periodo durante el cual varía la temperatura como función del tiempo, se conoce con frecuencia como el periodo transitorio, es decir, aquel periodo que se requiere para alcanzar condiciones de estado estacionario. Diariamente marchamos entre muchos

Problema 4 De transferencia de calor a través de cuadrados curvilineos

Considere el siguiente problema bidimensional En el bosquejo anterior se cumple la igualdad y a que la ecuación diferencial y las condiciones en la frontera son lineales. Es decir en cuya expresion los términos del lado de la derecha son soluciones a los subproblemas  que se bosquejan en la figura anterior. En este punto, muchos textos discuten acerca de soluciones numéricas a problemas de conducción de calor bi y tridimensional. En este blog, se discute sobre las soluciones numéricas para problemas de conducción de calor bajo condiciones de estado estacionario, más adelante junto con las soluciones numéricas para problemas transitorios.

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (VIII)

Ahora contamos con la solución a un problema bidimensional sencillo, con una condición en la frontera no homogénea únicamente. Si estuviéramos frente a un problema, más complicado que tuviera cuatro condiciones en la frontera no homogéneas, deberíamos resolver el problema por superposición en la forma siguiente. Si la temperatura fuera diferente de cero en todas las caras, se debería llegar a una solución resolviendo cuatro subproblemas y sumando sus soluciones. Los subproblemas deben ser tales que en el subproblema número 1, todas las temperaturas deberán ser cero salvo en la superficie donde y = 0 (cara BC en la figura 3-9); en el subproblema numero 2, todas las temperaturas deberían ser cero excepto en la superficie donde x = a (cara DC). Este es el principio de superposición y es un resultado de la linealidad de la ecuación diferencial y de las condiciones en la frontera que describen a la temperatura como función de la posición. Teniendo tres fronteras con temperaturas difere

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (VII)

En este punto hemos introducido la marca de interrogación ya que hemos supuesto una solución de la forma T(x,y) = X(x)Y(y). Por otra parte, puede existir dicha igualdad de acuerdo con los teoremas de las series de Fourier, que establecen que f(x) se puede expander en una serie, siempre y cuando f(x) se comporte bien. Puesto que f(x) representa una variación de temperatura, se puede suponer que satisface las condiciones necesarias. Como Gn senh (nπb/a)= constante = Kn, podemos escribir la ecuación anterior como Esto nos es familiar si reconocemos los Kn como los coeficientes de la serie de senos de Fourier de la ecuación (3-5)

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (VI)

Recuerde que la ecuación diferencial gobernante y las condiciones en la frontera son lineales, por lo tanto: es también una solución a nuestro problema. De hecho, esta es la solución para la cual las condiciones en la frontra (3-7d), cuando se aplican, nos darán el coeficiente Gn. Así que satisface la ecuación diferencial y las tres primeras condiciones en la frontera. Nos debemos preguntar a nosotros mismos si es posible que T(x,y) se reduce a f(x) cuando y =0. Aplicando la ecuación (3-7d), tenemos

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (V)

Los términos que aparecen en ambos lados de la ecuación (3-8) deben ser, cada uno de ellos, igual a alguna constante. Es esencial determinar que válores puede tomar la constante para poder encontrar una solución adecuada al problema. Si la constante fuera igual a cero, la solución  a la ecuación (3-8) sería tipo de relación lineal para X(x) y Y(y), que no satisfará ciertas condiciones en la frontera. De igual modo, si la constante fuera positiva, la solución a la ecuación (3-8) no satisfará las condiciones en la frontera. De igual modo, si la constante fuera positiva,la solución a la ecuación (3-8) no satisfará las condiciones en la frontera prescritas. Por lo tanto, llegamos al requisito de seleccionar el valor de la constante de separación como (-λ²). Se selecciona el signo menos de tal modo que la función f(x) que se expanderá como serie de Fourier, quede en términos de senos y cosenos cuando se resuelva  la ecuación (3-8). Dicha situación nos permite satisfacer todas las condicione

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (IV)

El valor T=0 que se indica en tres superficies (BA, AD y DC), es tan sólo una temperatura de referencia, Esto se hace tan sólo por conveniencia. Más adelante se explicará de qué modo es posible salvar este requisito. El problema que aquí se plantea tiene tres condiciones en la frontera homogéneas y una no homogénea. Para ser homogénea, una condición en la frontera debe contener la variable dependiente o su derivada en todos y cada uno de sus términos diferentes de cero. La conducción en la frontera T = f(x) sobre la superficie inferior es no homogénea ya que f(x) no contiene la variable dependiente, T. Este mismo criterio se aplica a la ecuación diferencial para poder determinar su homogeneida; por ejemplo, no es una ecuación diferencial homgénea debido a que el término que aparece en el lado derecho del signo de igualdad no contiene a la variable dependiente, T. Para obtener una solución a nuestro problema, escribimos la ecuación diferencial apropiada tal que, cuando se resuel

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (III)

Ahora, estamos listos para analizar un problema de conducción de calor bidimensional. Considere una barra larga de metal cuya sección transversal es rectangular según se muestra en la figura 3-8. Esta puede se de hierro fino que se expone a tratamiento con calor. En una sección transversal cualquiera (z=constante), la temperatura depende de x y y únicamente. Esto es En consecuencia , se analiza dicho problema con el fin de resolver la ecuación bidimensional de Laplace (3-1). Un conjunto de condiciones en la frontera para este problema se muestra en la figura 3-9

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (II)

La fórmula anterior es la expansión general en serie de Fourier de una función seccionalmente regular, f(x). Puesto que las temperaturas son funciones que se comportan bien, normalmente se les puede expander en términos de una serie de Fourier. Ahora, permitanos examinar la forma de la expansión en serie de Fourier cuando f(x) es una función par o impar. Una función par es aquella para la cual f(-x) = f(+x) como se ilustra en la figura 3-7(a). Una función impar es aquella para la cual f (-x = -f(x), según se ilustra en la figura 3-7(b)

Solucion Analitica para conduccion de calor bidimensional (I)

Para poder obtener una solución analítica a los problemas de conducción de calor bidimensional, se requiere la introducción del concepto de una expansión en serie de Fourier de una función, diagamos f(x). Durante la solución de un problema de conducción de calor bidimensional, se llega a cierto punto en que aparecen términos seno y coseno en el lado de la derecha de un signo de igualdad, y f(x) aparece en el lado izquierdo del mismo signo de igualdad. En este punto se hace nesario expander f(x) en una serie de Fourier con el fin de determinar coeficientes desconocidos. Se dice que una función seccionalmente continua, univaluada, finita, y que posee un número finito de máximos y mínimos en un intervalo dado, es una función seccionalmente rectangular. Si f(x) es seccionalmente regular, sobre un intervalo (-L, L), entonces se puede expander en una serie de senos y cosenos de forma.

Analogo electrico para la conducción bidimensional

Si se considera, bajo condiciones de estado estacionario, la conducción de una corriente eléctrica a través de  un material cuya conductividad eléctrica es constante, la ecuación diferencial que describe al potencial eléctrico como función de la posición es: en cuya expresión E es el potencial eléctrico. Observe que la ecuación (3-3) es igual que la ecuación (3-1), salvo que en (3-3) la variable dependiente es E y no T. Esta es la ecuación de Laplace en dos dimensiones. Por lo tanto, cuando una configuración tiene una diferencia de voltaje que se imprime a través de él, las figuras geométricas resultantes para las líneas de voltaje constante serán análogos a las líneas de temperatura constante si más bien se imprimiera una diferencia de temperatura a través de la misma configuración. Esto viene a ser la base de la constribución de un análogo eléctrico. Con el fin de construir un análogo, se corta una hoja de papel conducto de electricidad con una alta resistencia, de la

Problema 3 De transferencia de calor a través de cuadrados curvilineos

Como parte de un proyecto de cultivo de aceite, se entuba vapor saturado a 90 psia (T=320.3°F, hfg = 894.6 Btu/lbm) verticalmente hacia adentro de la tierra a razón de 500 lbm/h. Si la superficie del piso se encuentra a 60°F, a qué profundidad viajará el vapor antes de condensarse completamente? Suponga que la conductividad térmica de la tierra es de 0.8 Btu/h-pie°F, y la superficie exterior de la tuberia (con D.E. = 4 pulgadas) está a la misma temperatura que el vapor. Solución:

Analisis y comentarios Problema 2 De transferencia de calor a través de cuadrados curvilineos

Para dibujar nuestra gráfica de flujo unitario, supondremos que la caida de temperatura a través de la pared de la tubería es pequeña, y que la temperatura en la pared exterior de la tuberia es de 272°F. En seguida, observamos que la diferencia de temperatura total en este problema es 272-32 = 240°F, y seleccionaremos arbitrariamente ocho incrementos de temperatura de 30°F cada uno. La gráfica de flujo unitario que resulta se bosqueja en el diagrama anexo a este problema. Sólo se muestra la mitad del campo de flujo de calor debido a la simetria del problema

Problema 2 De transferencia de calor a través de cuadrados curvilineos

Una tubería de vapor de un pie de diámetro se aloja por debajo de la superficie de la tierra y lleva vapor a 272°F hacia un edificio con propósitos de calentamiento. La línea central de al tubería está a cinco pies por debajo de la superficie de la tierra. El suelo, bajo el cual reside la tubería, tiene una conductividad térmica promedio de 0.22 Btu/h-pie°F. Usando una gráfica de flujo unitario, determine la pérdida de calor por pie lineal de tuberia si la temperatura en la superficie del suelo es de 32°F. Compare su resultado con el que se obtiene usando el factor de forma apropiado del anterior post. Solución Datos: Fluye vapor a una temperatura Ti =272°F a lo largo de una tubería de diámetro igual a 1 pie, alojado a 5 pies por debajo de la superficie del suelo (Tsuperficie = 32°F). La conductividad térmica promedio del suelo es 0.22 Btu/h-pie°F.

Factores de Forma de conducción

Comentarios del Problema De transferencia de calor a través de cuadrados curvilineos

Es interesante comprobar los resultados del problema muestra 3-1 con los del problema muestra 2-1. En el problema muestra 2-1, el horno que analizamos tenía una pared de espesor pequeño comparado con las áreas de la pared. Para tal caso, se ignoraron los efectos de la orilla y la esquina con sólo un pequeño error de aproximadamente 2.5% que resulta en el cálculo de la cantidad de calor. Por otro lado, si se ignoran los efectos de la orilla y de la esquina en el problema muestra 3-1, donde el espesor de la pared es relativamente grande comparado con las dimensiones de la pared (la razón es 0.5), resultaría un error de cerca del 40%. Esto es evidente cuando comparamos la magnitud del factor de forma para todas las esquinas y orillas con el factor de forma total para el horno. El factor de forma total es 5724 y de esa porción se asocia 2.124 con las orillas y esquinas cuando diseñamos elementos calentadores para hornos de laboratorios.

Problema De transferencia de calor a través de cuadrados curvilineos

Un horno de laboratorio cuyas dimensiones en el interior son de 30 cm por 30cm está construido de ladrillo cocido que tiene conductividad térmica de 0.80 W/m.K. Si el espesor de la pared es 15 cm y a las temperaturas en la pared interior y exterior son de 540°C y 40°C, respectivamente, determine  la pérdida de calor a  través de las paredes. Si la temperatura máxima a la cual debe operar el horno es de 540°C, estime la medida del elemento calentador necesario, al kilowatt más cercano. Solución Comentarios: Ahora, si la temperatura máxima de operación del horno es 540°C, con pérdida de calor Q = 2.29kW bastaría un elemento calentador de 3kW.

Análisis del flujo de calor a través de la red de cuadrados curvílineos (II)

La cantidad Qs es la misma para todos y cada uno de los cuadrados curvilineos, lo cual significa que Qs fluye a través de cada senda de flujo de calor. Si existen M sendas de flujo de calor, entonces el flujo de calor total Q, a través de ABCD, está dado por: El número de △Ts, N se escoge arbitrariamente, y el número de sendas de flujo de calor, M se determina dibujando las líneas de flujo de calor de acuerdo con los lineamientos antes mencionados. La razón (Ml/N) será igual para cualquier valor de N que se escoja. Para nuestro problema del horno, si escogemos N = 9, entonces de la red de cuadrados curvílineos, M≈10, y hacinedo l = 1, tenemos Q = 1.1k(T1 - T2) Par un octante de la pared del horno. Con frecuencia a la cantidad (Ml/N) se le conoce como factor de forma, S. Se le determina mediante técnicas gráficas, de soluciones analíticas, y de los resultados de análogos eléctricos para varias geometrías. En la tabla 3-1 se da el factor de forma para algunas de las configur

Análisis del flujo de calor a través de la red de cuadrados curvílineos (I)

La pregunta ahora es: Qué tan bueno ha sido crear la red de cuadrados curvílineos? Para responder, permitanos examinar uno de los cuadros curvilíneos más comunes para el problema del horno tubular (fig 3-6). Recuerde que el número de isotermas se escogio al principio de la solución gráfica. N = número de △Ts que cruzan al cuerpo dado = número de isotermas -1

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