Coeficientes de transferencia de calor para flujo turbulento sobre una placa plana a una temperatura uniforme (I)

El campo de flujo en la capa frontera turbulenta se divide en cuatro partes (referencia 8). El movimiento en una capa muy delgada adyacente a la superficie, llamada subcapa viscosa, queda dominado por la viscosidad molecular. La capa que le sigue es una capa turbulenta. Aquí predomina el proceso de mezcla turbulenta. A esta capa se le llama también capa de esfuerzo constante, ya que la variación de esfuerzo cortante a través de la zona delgada es muy pequeña, t se puede reemplazar por un valor constate igual al que tiene enla pared. Esta es la ley de la pared (referencia 19). Entre la subcapa viscosa y la capa turbulenta existe una capa de amortiguamiento o zona de transición. Las viscosidades moleculares y de remolino son de igual significado en esta región. La última región hacia el exterior sigue la ley de alerta que formuló Coles (reerencia 19). Esta región casi no existe en condiciones de número de REynolds moderados. Sin embargo, ocupa del 80 al 90% de la capa frontera turbulenta en números de Reynolds altos.

Los investigadores han propuesto varias formas analíticas para la distribución de velocidad en la capa frontera turbulenta. En la referencia 18 se puede encontrar un resumen excelente de la investigación acerca de transferencia de calor en la capa frontera turbulenta.

En el pasdo se analizó la transferencia de calor desde una placa que se encuentra a una temperatura uniforme con capa frontera turbulenta, empleando la analogía de Reynolds, discutida en la sección 8-4. El número de Prandtl efectivo, Pre, se define como.

Friccion de fluido y transferencia de calor -analogía de colburn (II)

Los miembros derechos de las ecuaciones (8-47) y (8-47a) se encuentran dentro de un rango de 3%. Se puede atribuir esta diferencia a la técnica de aproximación para la integral de la cual se obtuvieron estas ecuaciones. Si ignoramos esta pequeña diferencia, podemos escribir

A la ecuación (8-48) se le conoce como la analogía de Colburn y demuestra que la pérdida de calor debida a la fricción en el fluido y el coeficiente de transferencia de calor se encuentran relacionados. Para muchas situaciones de transferencia de calor por convección, incluyendo diferentes geometrías y circundando flujo turbulento, Colburn (referencia 12) demostró que esta analogía es válida para un amplio rango de número de Prandtl (0.5 a 50), siempre y cuando no exista separación de capa frontera. Sin embargo, se debe insistir en que existe un buen número de situaciones en que falla la analogía de Colburn; por ejemplo, transferencia de calor en metales líquidos (Pr ~ 0.01) y aceites pesados (Pr > 10³), y flujo de calor unitario uniforme para el flujo laminar sobre una placa plana. Para Pr = 1, la analogía de Colburn se reduce a la analogia de Reynolds que discutimos en la sección 8-4.

Friccion de fluido y transferencia de calor -analogía de colburn (I)

En el capítulo 7, cuando consideramos flujo sobre un placa plana, dedujimos ecuaciones para los coeficientes de fricción de la corteza, local y promedio, Cf y Cf, promedio respectivamente. La ecuación para Cf fue

Problemas II El coeficiente de transferencia de calor y el número de Nusselt

Si se cambia el fluido del problema muestra 8-5 por aire, con una velocidad de corriente libre de 12 pies/s, determine la razón de transferencia de calor, de la superficie de la placa al aire.

Solución

Datos: Una placa plana de 2 pies de ancho y 1 pie de longitud se mantiene a una temperatura de 200°F, y fluye aire, cuya temperatura es de 60°F, a una razón de 12 pies/s sobre la  placa.

Objetivo

Determinar la razón de transferencia de calor, Q, entre la placa y el aire.

Problemas El coeficiente de transferencia de calor y el número de Nusselt

Fluye agua a 60°F sobre una placa plana a una velocidad de corriente libre de 1.2 pies/s. La placa tiene 2 pis en ancho y 1 pie de largo, y se mantiene a 200°F. Determine la cantidad de calor que aleja al agua por minuto.

El coeficiente de transferencia de calor y el número de Nusselt (II)

La ecuación (8-45) nos da el valor del coeficiente local de transferencia de calor en un punto x cualquiera. Se puede ver de la ecuación que h varía según  x^-1/2. En consecuencia, h tiene el valor más alto cerca del lado principal y decrece a lo largo de la longitud de la placa. Aumenta su calor a incrementos en el número de Reynolds y el número de Prandtl. El valor promedio del coeficiente de transferencia de calor está dado por

El coeficiente de transferencia de calor y el número de Nusselt (I)

Uno de nuestros objetivos ha sido determinar el coeficiente convectivo de transferencia de calor, h, que es el parámetros clave necesario para calcular las razones de transferencia de calor. En la superficie de la placa.

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (IX)

Si el número de Prandtl es igual a la unidad, esto es, si α = v, el perfil de velocidad sin dimensiones será idéntico al perfil de temperatura sin dimensiones, lo cual indica que el mecanismo de transferencia de momento es idéntico al mecanismo de transferencia de calor. La mayoría de los gases tienen números de Prandtl entre 0.65 y 1.00. Por lo tanto, las conclusiones anteriores son cualitativamente aplicables a gases, pero no a líquidos, ya que los valores de números de Prandtl para líquidos se desvian considerablemente de la unidad.

En la figura 8-9a se presentan los resultados calculados por Pohlhausen para los perfiles de temperatura sin dimensiones de números de Prandtl que varian de 0.6 a 50. Se grafican de nuevo todas las curvas, después de cambiar la abscisa de.

Todas ellas se unen en una sola curva, a saber, aquella para la cual Pr = muestra en la figura 8-9b. La pendiente de la tangente a la curva, 0.332 dad el mejor ajuste de las diferentes soluciones numéricas de la ecuación un rango de número de Prandtl

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (VIII)

Cuando se resuelven las ecuaciones (8-40) y (8-41), junto con las ecuaciones (7-38) y (7-48), nos dan el perfil de temperatura. No es necesario decir que tal labor es muy complicada y que una discusión acerca del método de solución no se encuentra dentro del alcance de este blog. Sin embargo, es posible bosquejar algunas inferencias, deducidas de una comparación de las ecuaciones (7-48) y (8-41). Si T y α aparecen en la ecuación (8-40), se reemplazan por u y v, respectivamente, la ecuación (7-48) contiene u como incógnita, mientras que la ecuación (8-40) contiene a T como incógnita. Si la razón (v/α), el número de Prandtl, es igual a la unidad, y si las cantidades en la frontera u y T son idénticas, entonces se puede decir que el perfil de temperatura (T contra y) será exactamente igual que el perfil de velocidad (u contra y). Entonces, la capa frontera térmica tendrá el mismo espesor que la capa frontera hidrodinámica.

Sin embargo, las condiciones en la frontera, ecuaciones (8-41), no parecen ser idénticas a las que aparecen en las ecuaciones (7-49). Dichas ecuaciones se pueden hacer idénticas mediante el siguiente cambio de variable. Definimos una temperatura sin dimensiones Θ

en cuya expresión el numerador es la diferencia entre la temperatura, T(x,y), y la temperatura de la placa, Tw, y el denominador es la diferencia entre la temperatura de la corriente libre, T∞, y la temperatura de la superficie de la placa Tw. Entonces.

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (VII)

La ecuación (8-40) es la ecuación de energía para una capa frontera incomprensible, con propiedad constante, sobre una placa plana. Para condiciones en la frontera, se puede dar consideración a una placa isoterma con temperatura, Tw, y a una corriente libre con temperatura T∞, de modo que:

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (VI)

El primer término del miembro derecho es la disipación viscosa, que contribuye en la conversión de la energía cinetica del fluido a energía térmica. A velocidades transónicas y supersónicas, la disipación viscosa contribuye suficientemente a la ecuación de energía. No obstante, el término de disipación viscosa es insignificante para velocidades moredamente bajas. El segundo término del miembro de la derecha balancea los cambios en la energía cinética y la energía potencial, que no fueran concluidos en nuestro análisis. Así, para bajas velocidades, podemos despreciar el último término de la ecuación (8-39). Dividiendo la ecuación resultante entre la densidad, ρ, obtenemos:

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (V)

Para un fluido incompresible con propiedades físicas y térmicas constantes, las ecuación anterior se simplifica de la forma

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (IV)

Ahora, el principio de conservación de la energía para condiciones de estado estacionario se puede establecer en palabras como:
Razón de Flujo al exterior de la energía transferida por convección desde el volumen de control.

+ Razón de flujo al interio de energía transferida por convección al volumen.
+Razón de trabajo hecho por el volumen de control sobre el fluido externo.
= Razón de flujo al interior de energía transferida por convección al volumen de control.
+ Razón de conducción de calor hacia dentro del volumen de control.
+ Razón de trabajo hecho sobre el volumen de control por el fluido externo

o bien.

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (III)

En seguida deseamos determinar si la ecuación anterior presenta la razón de trabajo hecho sobre el volumen de control o por el volumen de control. DE acuerdo con la convección de signos estándar de la mecánica de cuerpos sólidos, que es aplicable en este caso, se considera a la cara DD'C'C como una cara negativa, ya que la normal a dicha cada hacia afuera, apunta en la dirección y negativa. Por la misa convección, a la cara AA'B'B se loe considera como una cara positiva. El esfuerzo cortante que actúa sobre estas dos caras debe ser en dirección opouesta. Si una expresión que representa al esfuerzo cortante es positiva, entonces su dirección sobre la cara negativa está en la dirección (-x), y sobre cara positiva se encuentra en la dirección (+x). Concluimos, por tanto, que el volumen de control hace el trabajo, Wy, sobre el fluido que lo rodea en la cara DD'C'C, ya que la fuerza viscosa externa es en la dirección x negativa y la componente en la dirección x de la velocidad del fluido es en la dirección positiva.

Por un razonamiento similar, concluimos que el fluido externo hace trabajo sobre el volumen de control en la cara AA'B'B, ya que tanto la fuerza viscosa externa, como la componente en la dirección x de la velocidad del fluido están en la dirección x positiva. En base a una unidad de tiempo, esto es:

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (II)

YA que el componente de la velocidad en la dirección x, u, es mayor que la componente de la velocidad en la dirección y, v, una comparación de las dos expresiones anteriores indica que el trabajo viscoso sobre la cara ABCD es insignificante cuando se le compara con el trabajo viscoso sobre la cara DD'C'C. Se obtiene una mayor simplificación cuando se observa que:

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Trabajo debido a fuerzas viscosas (I)

Hemos visto en la sección 7-5.2, que para un flujo bi o tridimensional, el esfuerzo constante por viscosidad, τyx, está dado por

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Conducción

Usualmente, la razón de conducción de calor en la dirección x es muy pequeña comparada con la conducción en la dirección y, ya que el gradiente de temperatura primario es normal a la placa. Por lo tanto, se desarrollan expresiones para la conducción de calor tan sólo para la dirección y.

La razón con que se conduce calor en la dirección y en la cara DD'C'C hacia dentro del volumen el control es:

Análisis diferencial de una capa frontera térmica - Convección Forzada

La razón de flujo de masa hacia dentro del volumen de control a través de la cara ABCD es

ρu dydz

La energía asociada con este fluido por unidad de masa es la entalpia, la energia cinética, y la energía potencial. La entalpia, i, incluye a la energía interna, u, y el trabajo hecho  por las fuerzas de presión, pv. Los cambios en la energía cinética y la energía potencial que experimenta el fluido, cuando pasa a través del volumen de control, están exactamente balanceadas por una parte del trabajo cortante debido a fuerzas viscosas. La otra parte del trabajo cortante es disipación viscosa. La razón de energía transferida por convección hacia dentro del volumen  de control a través de la cara ABCD se puede escribir como.

Qx, conv = ρuidydz

La razón de energía transferida por convección hacia fuera del volumen de control a través de la cara A'B'C'D', situada a una distancia dx de separación de la cara ABCD, y paralela a ésta, dada por

Análisis diferencial de una capa frontera térmica

Considere un volumen de control (figura 8-8) colocado dentro de la capa frontera térmica. Se supone que la componente de la velocidad en la dirección z es igual a cero. Además, se supone que no existe variación alguna de la temperatura en la dirección z. Por lo tanto, se transportará la energía hacia dentro y hacia afuera, a través de las caras ABCD, A'B'C'D, DD'CC, y AA'BB. Ahora procedemos a desarrollar expresiones para la energia que se transporta a través de las fronteras del volumen de control, de tal modo que se pueda aplicar el principio de conservación de la energía.

Problema El coeficiente de transferencia de calor y el número de Reynolds

Fluye aire sobre una placa plana delgada cuyo ancho es de 1.0m y con 1.5m de largo, a una velocidad de 1.0m/s. La temperatura de la corriente libre es de 4°C. Calcular la cantidad de calor que se debe suministrar a la placa, para mantenerla a una temperatura uniforme de 50°C.

El coeficiente de transferencia de calor y el número de Reynolds (IV)

Muchas de las propiedades que intervienen en las ecuaciones de número de Nusselt, número de Prandtl y el número de Reynolds dependen fuertemente de la temperatura. Por lo tanto,es costumbre determinar las propiedades a la temperatura de la pared, Tf, definda según

Tf = (Tw + T∞)/2

El coeficiente de transferencia de calor y el número de Reynolds (III)

En consecuencia, la expresión para el coeficiente de transferencia de calor promedio, hpromedio, para transferencia de calor a una capa frontera laminar desde una placa plana que se mantiene a una temperatura uniforme, Tw, es

El coeficiente de transferencia de calor y el número de Reynolds (II)

Resulta interesante observar que la solución exacta tiene una constante númerica igual a 0.332 [vea la ecuación (8-46)].

El número promedio de Nusselt para una placa de longitud L, sobre la cual existe flujo laminar está dado por

El coeficiente de transferencia de calor y el número de Reynolds (I)

Ahora podemos proceder a determinar el coeficiente local convectivo de transferencia de calor. Dicho coeficiente está dado por

Conducción (VIII)

Si toda la placa se encuentra a una temperatura uniforme de modo que tanto la capa frontera térmica como la capa frontera hidrodinámica comienza a desarrollarse en el lado principal, esperamos que ζ sea infinito en x → 0. Sin embargo, según la ecuación (8-29), vemos que ζ tiende a ∞ cuando x → 0. Por lo tanto, debemos tener que A = 0 en la ecuación (8-35). Entonces, la razón ζ toma la forma:

Conducción (VII)

El coeficiente de ζ^4 en la expresión anterior es menor que el coeficiente de :ζ² por un factor de 14. Además, para la mayoría de los gases, ζ <1. * Por lo tanto, el termino que con tiene ζ^4 puede ser olvidado al compararse con ζ². De este modo, la ecuación anterior se simplifica a la forma

Conducción (VI)

En este punto, si examinamos la ecuación (8-29), encontramos que ya se tiene una expresión para u en términos de (y/δ) en la ecuación (7-29) y para T en la ecuación (8-31). También se ha evaluado (∂T/∂y)y=0. Poniendo todas estas expresiones juntas en la ecuación (8-29), resulta que

Conducción (V)

Cuando se aplican las condiciones antes citadas,  a la ecuación (8-30), llegamos a un conjunto de ecuaciones simultáneas, que se dan en seguida.

Conducción (IV)

La ecuación (8-29) es la ecuación integral de energía para la capa frontera sobre una placa plana.

El siguiente paso en el método integral consiste en suponer un perfil de temperatura, que puede ser de la siguiente forma

Los coeficientes que aparecen en la ecuación anterior se pueden evaluar con ayuda de las siguientes condiciones de frontera:

Conducción (III)

Para la conservación de energía se requiere que, bajo condiciones de estado estacionario, el flujo de energía hacia el interior del volumen de control debe ser igual al flujo de energía hacia el exterior del volumen de control en base a una unidad de tiempo.

De este modo se tiene