Transferencia de Calor

Para encontrar eb( λ1→ λ2), la integral entre λ1 y λ2 se puede escribir como una diferencia de integrales.

Si (ebλ)max es el valor máximo de ebλ, entonces se puede dibujar una gráfica de [ebλ/(ebλ)máx] conra (λ/λmax), y se muestra en la figura 6-15. Recuerde que el área bajo la curva de ebλ contra λ es igual a eb para una temperatura dada. En ocasiones, podemos desear saber la cantidad de energía radiante emitida en una banda de longitud de onda específica, digamos entre λ1 y λ2. Refiriendonos a la figura 6-16, hacemos que eb(0 → λ2) sea igual a la energía emitida entre las longitudes de onda λ = 0 y λ = λ2. En general, la cantidad eb (0 → λ) representa la emisión en el rango λ = 0 a λ = λ. Por lo tanto, para eb (0 → λ), escribimos.

La figura 6-14 ilustra una gráfica de ebλ contra longitud de onda para diferentes temperaturas. La ecuación (6-28) nos dice que las áreas que se encuentran por debajo de las curvas respectivas en la figura 6-14, son iguales a eb. Observese que cuando la temperatura aumenta, existe un decrecimiento en la longitud de onda, λmax, en la cual se emite la energía máxima. Para una temperatura dada, se puede determinar λmax, diferenciando la ecuación (6-27), haciéndola igual a cero, y resolviendo para λ. Al hacer lo antes mencionado se obtiene como resultado la ley de desplazamiento de Wien. en cuya expresión T se da en grados absolutos y λmax se expresa en micrones.

Si se desea determinar la energía total emitida por un cuerpo negro, tan sólo se requiere sumar la energía emitida sobre todas las longitudes de onda. Esto es, si eb es la energía total emitida por unidad de área y de tiempo, y si ebλ es la energía emitida a la longitud de onda λ por unidad de área, de tiempo, y de longitud de onda, entonces

En realidad, la potencia emisiva del cuerpo se distribuye entre diferentes longitudes de onda según se indica en la figura 6-14. La potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro, ebλ, es la cantidad de energía emitida por unidad de longitud de onda, de área y de tiempo a una longitud de onda dada, λ, y a una temperatura dada T. Max Planck ha probado que dicha potencia es igual a

En las secciones anteriores se discutió la transferencia de energía radiante suponiendo cuerpos grises, para los cuales las propiedades de radiación no dependen de la longitud de onda. En esta sección y las siguientes, consideramos la variación de las propiedades de radiación con la longitud de onda. En todos los análisis anteriores, consideramos la energía total emitida por un cuerpo de unidad de área y tiempo, e, sin tomar en cuenta el hecho de que la energía emitida tiene una distribución espectral que posee varias cantidades de energía a diferentes longitudes de onda. Si un cuerpo es negro, la cantidad total (es decir integrada sobre todas las longitudes de onda) de energía emitida por dicho cuerpo cuando su temperatura es T, está dad por la ecuación de Stefan-Boltzmann. eb = σT^4

Un termopar se usa para medir la temperatura e gas caliente que fluye en un tubo cuya temperatura se mantiene a 100°C. El termopar indica una temperatura de 500 °C. Suponiendo que la emisividad de la unión del termopar es de 0.5 y el coeficiente convectivo de transferencia de calor es de 250W/m²K, determine la temperatura real del gas. Comentarios: Vemos que, si se ignoran los efectos de radiación, se obtendría un error de 7%. Este error, aumentaría con un incremento de emisividad de la unión del termopar. Algunas veces se utilizan capas de radiación alrededor del área de unión para disminuir las pérdidas por radiación.

Suponga que h es el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la unión del termopar y el gas, Ttc la temperatura de la burbuja termopar, Tg la temperatura del gas, y Tw la temperatura de la pared del tubo. Cuando se alcanzan las condiciones de estado estacionario, la temperatura del termopar no cambia. Sin embargo, cede energía por radiación hacia la pared fría y debe ganar una cantidad de energía por radiación hacia la pared fría y debe ganar una cantidad de energía igual por convección tomada del gas caliente. Por lo tanto, la lectura del termopar no representa la verdadera temperatura del gas, Tg, sino que representa un valor que resulta menor que Tg debido al proceso combinado de convección-radiación tiene lugar. Este efecto es semejante al problema de helada blanca que se discutió en el capítulo I. Cuando la unión del termopar alcanza el equilibrio térmico y cuando se desprecia la conducción a lo largo de los alambres de termopar, tenemos. La ecuación (

Un excelente ejemplo de sistema de radiación-convección lo ofrece un termopar que se usa para medir temperaturas de gases a altas temperaturas, contenidos en un encierro a temperatura relativamente baja. En tal caso, se hace difícil obtener resultados exactos debidos a las pérdidas por radiación de la burbuja del termopar a la pared del ducto. Ya que las pérdidas por radiación son proporcionales a la temperatura elevada a la cuarta potencia, en cuanto más alta es la temperatura, más importantes serán los efectos de radiación al interpretar los datos experimentales. Permítanos considerar el problema de medir la temperatura de un gas caliente que fluye en un tubo cuyas paredes se mantienen a una temperatura relativamente baja. La figura 6-13 bosqueja la situación que deseamos analizar.

Dos planos paralelos y grandes se encuentran a las temperaturas de 940°F y 440°F e intercambian calor por radiación y tienen emisividades con valor de 0.4 y 0.9, respectivamente. Compare la transferencia de calor por radiación original entre los planos con la que ocurre cuando una sola placa para la radiación, de aluminio pulido, y con emisividad de 0.05 se coloca entre las placas originales.

La resistencia en el caso en que no se use placa alguna es [(2/ε)-1] y, por lo tanto, concluimos que para placas n la resistencia se incrementa por un factor de (n + 1). Esto da por resultado una reducción del flujo de calor por un factor igual al antes mencionado. Se debe poner enfasís en que la ecuación (6-25) es válida solamente si todas las emisividades son iguales. El problema muestra 6-6 nos muestra que si la emisividad de la placa es mucho menor que la de las superficies originales, entonces el flujo de calor se puede reducir en una cantidad considerablemente mayor que en el caso en que todas las emisividades son iguales.

Permitanos considerar en seguida el caso en que se tienen placas n entre los planos paralelos infinitos, todos con emisividad igual a ε. En esta caso, se tendrán espacios (n+1) creados por un total de planos (n+2) paralelos. El valor de cada resistencia espacial es la unidad. Se tendrán además resistencias 2n de superficie para las placas n más 2 resistencias de superficie de las dos superficies originales. Cada resistencia de superficie tiene un valor de (1-ε)/ε.: Por lo tanto, la resistencia total será.

Haremos una comparación de la razón de transferencia de calor por unidad de área, (Q/A), de la superficie 1 con la placa y sin ella. Observe que es posible usar la figura 6-12c para determinar la resistencia total entre las superficies 1 y 2 aun cuando no todas las emisividades son iguales. SEgún la figura 6-12b, con F1-2 =1, el flujo de calor en ausencia de la placa está dado por siempre y cuando todas las emisividades sean iguales.

Cuanto menor es la emisividad de una superficie, menor es la transferencia de calor por radiación de la misma, ya que la resistencia de superficie (1-ε)/εA tiende a infinito cuando ε → 0. Ya que ε = (1-ρ) para materiales opacos, esto indica que el uso de superficies altamente reflectoras (ρ → 1) es deseable cuando queremos reducir la transferencia de calor, por radiación. Si este enfoque no límita suficientemente la transferencia de calor, entonces se puede recurrir a las placas de radiación. Dichas placas colocadas entre las superficies de transferencia de calor, no agregan ni quitan la energía de la misma. Las placas a que nos referimos agregan resistencias y reducen por lo tanto la transferencia de calor por radiación neta e una superficie. Las placas de radiación se usan cuando se miden altas temperaturas usando un termopoar. En nuestro análisis de las placas de radiación, analizaremos el sistema que se muestra en la figura 6-12. El sistema que se bosqueja en la figura 6-12 consi

La ecuación (6-24) representa un conjunto de ecuaciones simultáneas N con las incógnitas N Jis, que se pueden determinar nuevamente por los métodos descritos en el capítulo 5. Una vez determinados los valores de los Jis, se puede usar la ecuación (6-23) para determinar la potencia emisiva de cada superficie y por lo tanto su temperatura. Una tercera posibilidad es que se prescriban las temperaturas de superficies M y los flujos de calor unitario para superficies (N-M). En dicha situación, el objetivo es determinar los M flujos de calor unitario desconocidos y las tempeturas (N-M)desconocidas. En un caso tal podemos proceder de la manera siguiente Generamos ecuaciones M empleando la ecuación (6-21) para aquellas superficies cuyas temperaturas se conocen. Generamos, además, ecuaciones (N-M), empleando la ecuación (6-24) para aquellas superficies cuyos flujos de calor unitario se conocen. Así, generamos en total ecuaciones M + (N+M), o N, con incógnitas N, que se pueden determinar fác

Si se conocen las temperaturas de todas las superficies del encierro, conoceremos los valores de ebi. Para una situación tal, las únicas incógnitas en la ecuación (6-21) son als Jis. Podemos resolver para los Jis por los mismos métodos que se discutieron en el capítulo 5. Una vez determinados los valores de las radiosidades, podemos calcular el flujo de calor unitario de cada superficie evaluando la ecuación (6-22) para dicha superficie. Si en lugar de conocer la temperatura de la superficie, se conoce el flujo de calor unitario, qi, en cada superficie, entonces el objetivo será determinar la temperatura de cada superficie. Con este fin, reescribiremos la ecuación (6-22) para tener.

La ecuación (6-21) presenta un conjunto de ecuaciones N algebraicas simultáneas, cuya solución nos da los J1, J2,.....JN. La ecuación (6-12), que se desarrolló en primer lugar para un encierro de dos superficies, es válida en realidad para un encierro de superficie N grises. Por lo tanto, podemos describirla de la manera siguiente en cuya expresión qi es la pérdida de calor neta debida a radiación de la i-esima superficie, por unidad de área y de tiempo. A la cantidad qi se le conoce tambien como flujo de calor unitario radiante.

La irradiación Gi, para la i-ésima superficie, que es por definición la cantidad de energía de radiación que llega a la i-esima superficie por unidad de área y de tiempo, está dado por

Con frecuencia nos encontramos situaciones en que participan más de tres superficies en el intercambio e energía por radiación. Consideramos un encierro formado por superficies N grises, cada una de las cuales es isoterma. Suponemos conocidos todos los factores de forma F (i-j) . La radiosidad, Ji, de i-ésima superficie, que es la energía radiante total que parte de la superficie i por unidad de área y de tiempo, está dada por.

Podemos comprobar esta respuesta encontrada J1, J2, y calculando los flujos de calor. También podemos determinar la temperatura de la superficie 3 después de encontrar J3, ya que J3 es igual a σT3^4. Recuerde que para cualquier superficie radiante y no conductora, J = G = σT^4. Procediendo tenemos.

Si la superficie 3 fuera negra, ninguna de las respuestas antes obtenidas cambiaría. No obstante, si la superficie 3 fuera una superficie perfectamente reflejante, tendríamos el caso 3 según se bosquejó en al discusión del problema general para tres superficies grises en al cual se aplica la ecuación (6-19). Observe que la batería que se muestra para la superficie 3 en el bosquejo del análogo eléctrico para el problema muestra 6-5 se elimina en este caso. Es decir, el análogo se transforma en

Para comprobar nuestras respuestas, la cantidad (Q1 + Q2) debe ser igual a -Q3, la ganancia de calor del nodo 3. La cantidad -Q3 es igual al calor que fluye a través de las resistencias entre los potenciales J1 y J3 y entre los potenciales J2 y J1. Esto es.

Dos discos paralelos de 60cm de diámetro se encuentran separados una distancia de 30cm uno de otro, colocando un disco directamente sobre el otro. Uno de los discos se mantiene a una temperatura de 500°C y el otro a 227°C. Las emisividades de los discos son 0.2 y 0.4, respectivamente. Los discos se encuentran localizados en un espacio muy grande cuyas paredes se mantienen a 60°C. Determine la razón de pérdida de calor por radiación de las superficies interiores para cada disco. Solución

Para el caso (c), el potencial J 3 = e b3 flota y su magnitud depende de las otras superficies participantes. No existe batería alguna (fuente) de potencial e b3 conectado a dicho nodo. Para obtener una solución a este problema observamos que, como J3 = eb3 es un potencial flotante, la resistencia (1/A 1 F 1-2 ) está en paralelo con las resistencias (1/A1F 1-3 ) y (1/A2F 2-3 ). Si se combinan esta resistencias en una resistencia equivalente, entonces sumando las resistencias de superficie y dividiendo la resistencia total entre el potencial de impulso, (eb1-eb2), la pérdida de calor Q1 a través de la superficie 1 se puede calcular en la forma (fig. 6-11c). Con Q1 conocida con auxilio de la ecuación (6-19), las dos ecuaciones anteriores se pueden utilizar para determinar J1 y J1. Una vez determinados Q1 J! J2 y J3, se pueden evaluar T3 utilizando J3 = eb3 = σT3^4

Para los casos (a) y (b), el potencial J3 = eb3 queda fijado por la temperatura de la superficie negra, o la temperatura de la superficie con el área grande. Para obtener una solución para estos casos, se suman las corrientes (los flujos de calor) en los puntos de unión cuyos potenciales son J1 y J2, de acuerdo con la ley de corriente de Kirchhoff. Entonces se resuelven las dos ecuaciones resultantes para J1 y J2 de tal modo que se pueden calcular las razones de flujo de calor. Las dos ecuaciones son: en cuyas ecuaciones eb2 es conocida.

Una pared adiabática, que se encuentra térmicamente aislada, se llama pared refractoria. Una pared perfectamente reflectatante es adiabática también. Las paredes refrectarias y perfectamente reflejantes caen en la categoría general de paredes radiantes pero no conductoras. Es decir, que la cantidad total de energía radiante que impacta a una de dichas paredes abandonará a la pared en forma de energía reflejada y reemitida. Esto significa que, para una superficie refractaria, J y G son iguales y que la pared misma no actúa como la fuente o como sumidero de calor. La figura 6-11 ilustra el análogo eléctrico para los problemas simplificados de encierros con tres superficies, en los casos de que una superficie es negra (a), donde dos superficies son muy pequeñas comparadas con la tercera superficie (b) y donde una superficie es adiabática (c).

Existen algunas situaciones especiales para la cuales el problema del encerramiento con tres superficies se hace más sencillo, y nos lleva a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Dichas situaciones son las siguientes: (1) Si alguna de las superficies es negra, la emisividad de dicha superficie es la unidad, y su resistencia de superficie, (1-ε)/εA, se hace igual cero. En consecuencia, la radiosidad para dicha superficie se hace igual a su potencia emisiva de cuerpo negro; o sea, si ε = 1, J =eb (un potencial fijo dependiente de la temperatura de superficie). (2) Considere que las áreas de dos superficies son muy pequeñas, comparadas con el área de la tercera superficie. Si el área de la tercera superficie es muy grande, la resistencia de superficie, (1-ε)/εA, tiende a cero y la radiosidad para la tercera superficie se hace igual a su potencia emisiva de cuerpo negro. Esto es, cuando A→∞ , (1-ε)εA→0. y J = eb (un pontecial fijo que sólo depende de la temperatura de la ter

Si consideramos un encierro de tres superficies grises intercambiando energía radiante una con otra, habrá tres resistencias de superficie (una para cada una de las superficies presentes) y tres resistencias espaciales. Habrá una resistencia espacial entre la superficie 1 y la superficie 3, una resistencia espacial entre la superficie 2 y la superficie 3 y una resistencia espacial entre la superficie 1 y la superficie 2. En general, si se tienen superficies N, habrá resistencias N de superficie y . [N(N-1)]/2 resistencias especiales. La figura 6-10 nos muestra el análogo eléctrico para un encierro gris, que consta de tres superficies. Examinando la figura 6-10, tenemos que si se conocen las temperaturas T1, T2 y T3, entonces se pueden determinar eb1, eb2, y eb3 también. Suponiendo dada la geometría del sistema podemos determinar los tres factores de forma, F1-2, F1-3 y F2-3. Se puede aplicar la ley de Kirchhoff para las corrientes que llegan a cada uno de los tres puntos nodales c

Considere una esfera cuyo D.E. es de 1 pie situado dentro de una esfera cuyo D.I. es de 2 pies, como la del problema muestra 6-1. Suponiendo que la emisividad de la superficie exterior de la esfera interior es de 0.5 y la emisividad de la superficie interior de la esfera exterior es 1.0, determine la pérdida de calor por radiación de la esfera interior si la temperatura de las esferas interior y exterior es de 540°F y 1040°F, respectivamente. Solución  Datos: Una esfera pequeña se encuentra completamente encerrada por una esfera grande. Para la esfera pequeña Comentarios: La razón de pérdida de energía por la superficie 1 es igual a la razón de ganancia de energía por la superficie 2

Si los cuerpos 1 y 2 fueran dos esferas, como se ilustra en el problema muestra 6-1, donde 1 se refiere a la superficie exterior de la esfera interior y 2 se refiere a la superficie interior de la esfera exterior, tenemos (obsrvando que F(1-2) =1) La ecuación (6-15) sigue siendo válida para dos superficies cilindricas infinitamente largas y cualquier otro problema con dos superficies para las cuales F1-2 =1. Si A2 es mucho mayor que A1, entonces la razón (A1/A2) tiende a cero, y la razón de transferencia de calor de la superficie 1 es Además, si A2 no es mucho mayor que A1, pero es negra, entonces [(1/ε2)-1] es equivalente a cero y tiene validez la ecuación (6-16). En sintesis, la ecuación (6-16)