Conducción (II)

Así concluimos que la razón de transferencia de calor debida a la conducción a través de las caras AB, DC y AD, es despreciable.

La única cara del volumen de control para la cual, hasta ahora, no se ha considerado la conducción de calor, es la cara BC. La energía calorífica fluye hacia dentro del volumen de control, a través de la cara BC. La energía calorífica fluye hacia dentro del volumen de control, a través de la cara BC por conducción desde la placa. La razón de conducción de calor hacia dentro del volumen de control a través de BC está dado por

donde k es la conductividad térmica del fluido.

Conducción (I)

En seguida consideramos la razón de conducción de calor a través de las cuatro caras hacia dentro del volumen de control. Para cada una de las caras, su magnitud está dada por el producto de la conductividad térmica del fluido, el área de la superficie de la cara y el gradiente de temperatura normal a la cara. Ya que se espera que la temperatura del fluido que se encuentra en la capa frontera varie principalmente en la dirección en la dirección y tan sólo, se espera un cambio de temperatura pequeño a través de las caras AB y DC.

Además, la temperatura del fluido fuera de la capa frontera, esto es, en AD, es una constante, T∞ Por lo tanto.

Convección (III)

La energía interna asociada con el fluido que entra través de la cara AD  y el trabajo hecho por las fuerzas de presión con la AD se pueden combinar en la entalpia t, media en base a una masa unitaria. Así que la energía que se lleva al interior del volumen de control a través de la cara AD es

Convección (II)

La energía debida a convección, que sale del volumen de control a través de la cara DC, situada a una distancia dx, separada de la cara AB, y paralela a está, es

Convección (I)

La energía asociada con el fluido que entra al volumen de control a través de un área de altura, dy, y amplitud igual a la unidad hacia dentro del plano del papel consta de la energía interna, u, y el trabajo debido a fuerzas de presión, pv. Combinando u y pv en la entalpia, i, podemos escribir la siguiente expresión para la energía asociada con el fluido.

Análisis integral de la capa frontera térmica

Considere un volumen de control con amplitud en el sentido de la corriente, dx, y altura H, que incluye el espesor completo de la capa frontera térmica (figura 8-7). El volumen de control se sitíua en una región donde el fluido es laminar. La energía fluye hacia dentro del volumen de control por convección y por conducción desde los diferentes lados del volumen de control. En el análisis se emplearán las consideraciones hechas para el balance de energía que se discutió en la sección anterior.

Convención desde una placa plana-flujo laminar en la capa frontera térmica (III)

Ahora examinamos con algún detalles los siete puntos anteriores. Los cambios en las energías y potencial que experimente un fluido que pasa a través de un volumen de control están exactamente balanceados por una porción del trabajo hecho por las fuerzas viscosas. El resto del trabajo viscoso se disipa y con frecuencia es insignificante. La energía interna, u, y el trabajo hecho por las fuerzas de presión, pv, se pueden cambiar en la entalpia, i, mediante la relación.

i =u + pv

Además, bajo condiciones de estado estacionario, la temperatura no cambia con el tiempo y, por lo tanto, la razón de cambio de energía interna del fluido que se encuentra dentro del volumen de control es cero. Ahora procedemos a analizar la transferencia de calor en una capa frontera sobre una placa plana, utilizando el enfoque integral.

Convención desde una placa plana-flujo laminar en la capa frontera térmica (II)

El enfoque analítico es el mismo que el que se usa para el análisis de transferencia de calor por convección en un tubo. ESto es, empleamos el principio de conservación de energía para obtener la ecuación gobernante para la distribución de temperatura. En el capítulo 7 se han desarrollado ya expresiones para la distribución de velocidad, que apareceran en la ecuación de energía. Utilizaremos tanto la técnica de integral aproximada, como la formulación diferencial, para analizar el problema. En primer lugar describiremos el enfoque integral, que es semejante a la integral de balance de calor que se utilizó para determinar la distribución de temperatura en un cuerpo semiinfinito en la sección 4-6.

La aplicación del principio de conservación de energía a un volumen de control para un análisis de la capa frontera requiere la consideración de:

1. Energía cinética transportada hacia dentro y hacia afuera del volumen de control.
2. Energía potencial transportada hacia dentro y hacia fuera del volumen de control
3. trabajo hecho por fuerzas viscosas
4. energía interna transportada por convección hacia adentro y hacia afuera del volumen de control
5. trabajo hecho por fuerzas de presión (el trabajo del flujo)
6. razón de cambio de energía interna del fluido que se encuentra dentro del volumen de control
7. calor que se conduce hacia adentro y hacia afuera del volumen de control.

Convención desde una placa plana-flujo laminar en la capa frontera termica (I)

En las primeras secciones de este capítulo se ha tratado principalmente con flujos en tubos. Ahora nos volvemos a problemas de capas frontera en placas.

En la discusión de flujo sobre una placa plana (sección 7-5), se introdujo el concepto de capa frontera hidrodinámica. Si se presta consideración al análisis de transferencia de calor entre una placa y un fluido que fluye sobre la misma, resulta ser de gran utilidad el concepto de una capa frontera térmica. Como se ilustra en la figura 8-1, la temperatura del fluido cambia de Tw (temperatura de la superficie de la placa) a la temperatura corriente libre, T∞, al movernos alejándonos de la superficie de la placa. Podemos considerar una capa delgada de espesor δt, llamada capa frontera térmica, a través de la cual tiene lugar el 99% del cambio de temperatura. En forma semejante a la capa frontera térmica, a través de la cual tiene lugar el 99% del cambio de temperatura. En forma semejante a la capa de frontera hidrodínamica, el espesor de la capa frontera térmica es igual a cero en el lado principal de la placa y crece al ir corriente abajo sobre la placa. El espesor de estas dos capas no es necesariamente igual.

Entre las condiciones en la frontera posibles, la superficie de la placa se puede mantener a una temperatura uniforme, o bien se puede suministrar un flujo de calor unitario uniforme al fluido que fluye sobre la placa. Como se acostumbra, buscamos una expresión para el coeficiente convectivo de transferencia de calor.

Teorema π de Buckinham (VII)

Ya que el miembro izquierdo de la ecuación anterior contiene tan sólo cantidades sin dimensiones y la ecuación debe ser dimensionalmente correcta, se dice que las cantidades que aparecen entre parentesis en el miembro de la derecha, deben ser dimensiones. La cantidad (Lc/u∞/α) es el grupo sin dimensiones relevante al problema de transferencia de calor descrito por la ecuación diferencial parcial. Este grupo se llama número de Peclet. Dicho número se puede expresar en términos del número de Reynolds y el número de Prandtl de la manera siguiente.

Interpretación física de algunos grupos sin dimensiones

Teorema π de Buckinham (VI)

Una forma más directa y conveniente de deducir los grupos sin dimensiones, consiste en trabajar con la ecuación diferencial que gobierna el proceso y ajcerla sin dimensiones. En la gran mayoría de los problemas que involucran flujo de fluido y transferencia de calores posible escribir una ecuación que gobierna el proceso, y que expresa la física requerida en el mismo. El resultado es una ecuación algebraica, una ecuación diferencial ordinaria, o una ecuación diferencial parcial. En cualquier caso, la ecuación contiene un número de variables físicas, tales como velocidad, u, distancia en la dirección x, etc. Se substitiuye cada una de estas variables pro el producto de una variable sin dimensiones y un valor de referencia para la variable. Por ejemplo, si se desea hacer a u sin dimensiones, seleccionamos a u∞ como velocidad de referencia, seleccionamos a u* como velocidad sin dimensiones, y se reemplaza u por u∞u*. Después de substituir todas las variables en la ecuación que gobierna el proceso por los productos apropiados, se agrupan los términos en las ecuaciones de manera que algunos de los términos son combinaciones de las variables sin dimensiones introducidas y los otros términos contenidos en grupos de variables que son sin dimensiones. Cada grupo que contiene a las variables sin dimensiones es el grupo sin dimensiones relevante al problema que estamos tratando. Se ilustrará este procedimiento mediante un ejemplo.

La ecuación diferencial para la capa frontera térmica adyacente a una plana, ecuación (8-40), es.

Teorema π de Buckinham (V)

En este ejemplo, se tienen tres variables (V, Lc, g) y dos dimensiones básicas (L y τ). Por lo tanto, existe tan sólo un grupo sin dimensiones independientes, (V²/Lcg), que se conoce como número de Froude. Dicho número juega un papel importante en los flujos sobre los que influye el campo gravitacional, que aparecen más comúnmente en el análisis de flujo en canal abierto.

En general, cuando se usa el método anterior para reducir los grupos sin dimensiones, es muy posible que se llegue a encontrar grupos que no son los convencionales para el problema. La forma de los grupos sin dimensiones depende de la forma en que se emplea el método. En el ejemplo anterior, si hubiéramos resuelto para b y c en términos de a, se hubiera obtenido (V/√ gLc) como grupo sin dimensiones. Aún cuando esto es correcto, no es estándar tal número.

Teorema π de Buckinham (IV)

En la ecuación anterior, V1, V2,........, V5 son las variables relevantes del problema, y a, b, c, d y e son exponente desconocidos (se seleccionan cinco variables para concretar). Si substituimos las dimensiones en términos de M, L, τ, y T para cada una de las variables que aparecen en la ecuación (8-27), entonces la suma de los exponentes de cada una de las dimensiones principales M, L, τ, y T, debe ser igual a cero. Esto nos lleva a un conjunto de cuatro ecuaciones simultáneas que contienen a, b, c, d y e como incógnitas. El número de incógnitas en las cuatro ecuaciones simultáneas es cinco. Cualesquiera cuatro de dichas cinco incógnitas se pueden resolver en términos de la restante. Entonces, regresándonos y substituyendo en la ecuación (8-27) llegaremos a un grupo sin dimensiones independiente. Ahora se ilustrará el procedimiento anterior.

Considere un problema en que las variables son, velocidad, V, longitud caractaristica, Lc, y aceleración gravitacional g. Tenemos entonces dando (V²/Lcg) como el grupo sin dimensiones.

Teorema π de Buckinham (III)

EStas variables tienen cuatro dimensiones básicas, a saber, [M], [L], [τ], y [T]. Según el teorema de Buckingham, el número de grupos sin dimensiones independientes, pertinentes para el problema, es (7-4) o bien 3. Ya sabemos, que estos grupos son, el número de Nusselt (hL/k), el número de Reynolds (ρu∞L/μ), y el n''umero de Prandtl (μcp/k)

Cualquier ecuación que gobierna un fenómeno fisico y que se deduce de los principios básicos de la física, siempre es dimensionalmente correcto. Esto es, si subsistituimos las dimensiones M, L, τ, T para cada variable en cada uno de los miembros de una de dichas ecuaciones y simplificamos la ecuación, encontraremos que los exponentes respectivos de M, L, τ y T en cada miembro de la ecuación son iguales.

Este principio forma la base de un método para obtener grupo sin dimensiones, como se presenta en seguida.

Cuando no se conoce la relación real entre diferentes variables de un problema, con el fin de obtener grupos sin dimensiones pertinentes podemos suponer una relación de la forma siguiente.

Teorema π de Buckinham (II)

El teorema π de Buckhinham nos dice cuántos grupos sin dimensiones independientes se pueden obtener con un conjunto de variables. Dicho teorema establece que el número de grupos sin dimensiones independientes que es posible formar con un conjunto de N variables físicas que gobiernan un problema, es igual a (N-D), donde D, es el número de dimensiones básicas necesarias para definir las dimensiones de todas las N variables.

Considere las siete variables siguientes

Teorema π de Buckinham (I)

Si tenemos un número de grupos sin dimensiones, se dice que son grupos sin dimensiones independientes, si ninguno de los grupos se puede deducir como combinación del resto de los grupos de cualquier manera. ES importante en grupos que se correlacionan, que tengamos todos los grupos sin dimensiones independientes posibles.

Analisis dimensional (II)

Suponga que estamos interesados en efectuar un experimento para determinar el efecto de cada variable sobre el coeficiente de transferencia de calor, h. Sería necesario variar cada una des las seis variables restantes, k, L,ρ, u∞, μ, y cp, una cada vez. Suponga que variamos cada variable sólo cuatro veces. Devemos tener entonces un total de 4^6 o 4096 datos. En realidad será una empresa formidable obtener e interpretar tantos puntos datos. En los resultados que presentamos al principio del capítulo, se tenían tres grupos sin dimensiones (Nu, Re y Pr) que involucran las siete variables. Si se varían el número de Reynolds y el número de Prandtl, cuatro veces cada uno, los 16 puntos resultantes nos proporcionan tanta información como los 4096 puntos de que antes hablamos. Esto nos prueba que el uso de parámetros sin dimensiones resulta ser muy ventajoso.

Existen cuatro dimensiones primarias, a saber, mas [M], longitud [L], tiempo [τ], y temperatura [T]. Algunas veces se considera la fuerza como dimensión básica también. Las dimensiones de todas las otras variables físicas se pueden obtener de la combinación de las cuatro dimensiones básicas [M, L, τ, T]. Por ejemplo,

Analisis dimensional (I)

En el desarrollo de las relaciones para transferencia de calor por convección en tubos, encontramos varios grupos sin dimensiones, tales como el número de Nusselt (Nu), el número de Prandtl (Pr) y el número de Reynolds (Re). Estos números no tienen dimensiones debido a que, no importa qué sistema de unidades (inglés, SI, o CGS) se utiliza para las diferentes variables que se involucran en los grupos, los resultados finales no tienen unidades ni dimensiones asociados a ellos. La principal ventaja de usar grupos sin dimensiones es la de reducir el número de variables independientes en un problema.

Considere un problema común acerca de convección, en el cual se involucran las siete variables siguientes:

h, k, L, ρ, u∞ , μ, cp

Problema Problemas de longitud de entrada (IV)

Fluye agua a través de un tubo de cobre cuyo D.I. es de 1 pulgada, a razón de 1.5 galones por minuto. La temperatura del agua al entrar es de 50°F. La pared del tubo recibe un flujo de calor unitario uniforme de 4 000 Btu/h-pie. Determine la longitud del tubo, necesario para calentar el agua a una temperatura en bulto de 130°F, y calcule el valor promedio de (Tw-Tb)

Solución

Datos: Fluye agua a una temperatura en bulto inicial de 50°F, a través de un tubo de cobre cuyo D.I. es de 1 pulgada, a una razón de 1.5 gal/min. La pared del tubo recibe un flujo de calor unitario uniforme de q = 4 000 Btu/h-pie.

Problemas de longitud de entrada (III)

Stephenson (referencia 38) estudió la transferencia de calor en flujo que se desarrolla en un tubo circular, entre placas paralelas, y entre placas divergentes. Stephenson resolvió las ecuaciones que gobiernan dichos procesos, desarrolladas por Patankar y Spalding (referencia 39). Stephenson triunfó al obtener buenas coincidencias entre sus predicciones y los datos experimentales para el perfil de velocidad y la cantidad sin dimensiones (Nu/RePr), conocida como número de Stanton.

El número medio  de Nusselt, Num, que resulta ser muy útil en el diseño de intercambiadores de calor, se puede expresar mediante la siguiente relación para (L/D)>20 para un gas cualquiera (referencia 8) que experimenta el problema de longitud de entrada combinado.

Problemas de longitud de entrada (II)

Si no está establecido el perfil de velocidad, ni el perfil de temperatura, tenemos el caso de una longitud de entrada térmica e hidrodinámica combinadas. En las figuras 8-4, 8-5 y 8-6 se presentan resultados analíticos (referencia 9) y resultados experimentales (referencia 10) para el número local de Nusselt para el aire. En la figura 8-4 se grafican los resultados analíticos para el número local de Nusselt, para el caso de flujo de calor unitario uniforme, como función de (x/D), donde x es la distancia a la entrada del tubo. La figura 8-5 nos muestra la variación predicha en el número local de Nusselt para un tubo circular, cuya temperatura de superficie se mantiene constante. Los resultados experimentales para una temperatura de pared constante, se presentan en la figura 8-6. La figura nos enseña la variación en el número de Nusselt, Nux, con la distancia axial, x, para cuatro diferentes configuraciones de entrada. Se puede ver en la figura que las configuraciones de entrada tienen una pronunciada influencia sobre Nux para una distancia mayor a diez veces el diámetro del tubo.

Problemas de longitud de entrada (I)

Otra clase de problemas asociados con transferencia de calor turbulenta en tubos es aquella en que se involucra transferencia de calor en la longitud de entrada. Si se aísla un tubo en una longitud suficiente a partir de su entrada, entonces al temperatura del fluido que fluye a través de él, se hará uniforme en alguna sección del tubo. Después que la temperatura del fluido se ha hecho uniforme, haga que la pared del tubo se mantenga a una temperatura de superficie constante, diferente a la del fluido. Esto dará por resultado un flujo a través de un tubo, con un perfil de velocidad completamente desarrollado, donde el perfil de la temperatura no queda aún establecido. Sleicher y Tribus (referencia 7) resolvieron dicho caso, con temperatura de superficie constante. Ambos obtuvieron una solución en forma de serie infinita. Sparow, Hallman y Siegel (referencia 4) obtuvieron una solución analítica al problema de longitud de entrada térmica para un flujo de calor unitario uniforme. Se recomienda al lector leer la referencia 8 para conocer los detalles de estas soluciones.

Flujo completamente desarrollado Deissler (III)

Las propiedades del fluido que aparecen en la ecuación (8-23) se evalúan a  la temperatura en bulto media del fluido, sobre la longitud del tubo que nos interesa. Los valores del factor de fricción que se obtienen con ayuda de la ecuación (8-24) coinciden estrechamente con los que se obtienen a partir de la ecuación Prandtl-Karman, que tiene una amplia aceptación en la literatura. Sin embargo, la ecuación (8-24) se puede resolver explícitamente para f, mientras que esto no es posible hacerlo con la ecuación de Prandtl-Karman.

Flujo completamente desarrollado Deissler (II)

Petukhov y Popov (referencia 6) obtuvieron una solución analítica al problema de transferencia de calor turbulenta en un tubo circular con flujo de calor unitario uniforme. Ambos demostraron que los resultados de sus análisis se encuentran dentro de un rango de ±6% con respecto a los datos experimentales reportados en nueve artículos diferentes (fig 8-3) El resultado debido a Petukhov y Popov tiene preferencia sobre la ecuación(8-22) y se expresa enseguida.

Flujo completamente desarrollado Deissler (I)

Deissler y Sparrow y col. han obtenido soluciones analíticas al problema de transferencia de calor en un flujo turbulento completamente desarrollado, en un tubo circular con flujo de calor unitario uniforme en la pared. Dichas personas consideraron un flujo con propiedades constantes y con el número turbulento de Prandtl, Prt igual a la unidad. Deissler encontró una buena coincidencia con los datos de diez investigadores. Webb ha mostrado que los resultados de Deissler se pueden expresar en la forma siguiente, para número de Prandtl de moderados a altos.

Transferencia de calor para flujo turbulento en tubos circulares (II)

Se puede considerar a la cantidad (ρCpεH) como un incremento en la conductividad del fluido, debida a la turbulencia. La razón, (εM/εH), se conoce como el número turbulento de Prandtl, Prt.

ES notable la similitud de las ecuaciones (8-20) y (8-21). Si el número de Prandtl es igual a la unidad (α= v) y si las difusividades de remolino para el calor y el momento se suponen del mismo valor (Prt = 1), entonces el perfil de velocidad y el perfil de temperatura serán similares. La similaridad del perfil de velocidad y el perfil de temperatura da por resultado una distribución de flujo de calor unitario, q(y), que es idéntica a la distribución de esfuerzo cortante, τ(y). Este hecho se conoce como la analogía de Reynolds. Ahora examinaremos algunos de los resultados analíticos para la tansferencia de calor turbulenta.

Transferencia de calor para flujo turbulento en tubos circulares (I)

En las secciones 7-4.2 y 7-53.4, se introdujo el concepto de difusividad en remolinos para explicar al transferencia macroscópica del momento. La ecuación para el esfuerzo cortante en el fluido se escribió en la forma.

en cuya expresión el subíndice M representa la tansferencia de momento. Cuando tiene lugar la tansferencia de calor por convección en un flujo turbulento, el transporte macroscópico debido al movimiento de remolinos hace una significativa contribución a la difusión de calor en el fluido. esta contribución queda caracterizada por la difusividad de remolino para el calor, eH, que se define según

Problema Muestra Número de Nusselt para la región de entrada en un tubo circular (

Fluye agua a razón de 10 cm³/s a través de un tubo de 15 mm de D.I. La pared del tubo se mantiene a una temperatura constante de 60°C. Calcule el coeficiente local de transferencia de calor a una distancia de 1.0 m de la entrada del tubo. Además, calcule el valor promedio del coeficiente de transferencia de calor entre x=0 y x=1.0 m. Si el agua entra al tubo con una temperatura uniforme de 20°C, determine la cantidad de calor transferida de la pared del tubo al agua a lo largo del primer metro de longitud del tubo.

Solución

Datos: Agua, que se encuentra inicialmente a  una temperatura en bulto de 20°C, fluye  a razón de 10cm³/s a través de un tubo que tiene una temperatura en su pared constante, de 60°C. El diámetro del tubo es D.I. igual a 15mm.

Número de Nusselt para la región de entrada en un tubo circular (VI)

Considere una longitud diferencial dx del tubo, que se mantiene a una temperatura uniforme, Tw. Cuando el fluido del tubo recorre esta distancia, experimenta un incremento en su temperatura. Sea dTb este incremento. Además, suponga que la razón de un flujo en masa  y el calor específico del fluido del tubo, se representa mediante m  y respectivamente. Podemos escribir la siguiente ecuación para la cp transferencia de calor, dQ, al fluido del tubo.

Número de Nusselt para la región de entrada en un tubo circular (V)

Ti. Estamos interesados en el valor local de h a una distancia dada de la entrada, el valor promedio de ha en esta distancia, y la temperatura en bulto del fluido después de que el número ha recorrido esta distancia. ESte es el problema clásico de Graetz (referencia 1), del cual se da una solución en la tabla 8-2. En la tabla se registran los valores de la distancia sin dimensiones, x*, a la entrada, y los números de Nusselt local y promedio. La definición del número de Nusselt promedio  que se usa para esta tabla es: