Transferencia de Calor

Las variaciones en la conductividad térmica, k, debidas a cambios de temperatura se pueden tomar en cuenta de la siguiente manera. Recuerde que la ecuación (5-1) nos da el flujo de calor unitario en la cara izquierda del elemento, asociado con el nodo i-esimo. Por lo tanto, la conductividad, k, que aparece en dicha ecuación se debe evaluar a la temperatura media de la cara izquierda del elemento. Si el espacio entre nodos es uniforme, evaluamos la conductividad a una temperatura que resulta ser el promedio de las temperaturas en el nodo (i-1)-ésimo y el nodo i-ésimo. Indicando este valor de la conductividad como k(1-1/2), la expresión para Q(i-1)-i se transforma en:

En situaciones practicas que incluyen convección natural, el coeficiente de transferencia de calor, h, queda prescrito mediante la relación siguiente: h = C(T - T∞)^n siendo especificadas C y n. Como se conocen las temperaturas por anticipado, es imposible calcular los valores de h como entradas. Por lo tanto se requiere de un procedimiento iterativo. En seguida se da una lista de los pasos que se incluyen en dicho procedimiento. Se calcula h para T = To usando la ecuación (5-18) Se hacen todos los his igual al vector calculado en el paso 1. Se resuelven las ecuaciones (5-14), (5-16) par alos Tis Se calculan una vez más todos los valores hi usando la ecuación (5-18), y empleando las temperaturas que se encontraron en el paso 3. Usando los últimos valores hi, repita el paso 3 Se comparan las temperaturas que se obtienen en el paso anterior con las que se obtuvieron en el paso 3. Si las diferencias son menores que una tolerancia preestablecida, detenga; de otro modo, repita

En seguida consideramos las variaciones en los valores del coeficiente de transferencia de calor, h. Si se sabe que h varía de acuerdo a una relación funcional bien definida que depende de x, entonces todo lo que se tiene que hacer es evaluar h para los diferentes xis y con esto se colecciona un conjunto de valores hi, i = 1,2,.... M. De aqui ve, siempre que encontramos h en las ecuaciones para dos nodos, sencillamente reemplazamos h por hi. Así que las ecuaciones (5-13) y (5-15) se debe transformar en: en cuya expresión hL es el coeficiente de transferencia de calor en las extremidades de la aleta (x=L), el cual podria ser diferente de hi para i = M, el coeficiente de transferencia de calor en la superficie del M-ésimo elemento.

Con entradas conocidas para los coeficientes, se pueden programar con facilidad las ecuaciones (5-13) a (5-15). Cuando pasamos de una aleta recta a una aleta trapezoidal, el único cambio que surge en el enfoque numérico consiste en un conjunto algo complejo de coeficientes en las ecuaciones de diferencias. Sin embargo, los proecedimientos que se emplean en la solución de estas ecuaciones son los mismos que se discutieron en la sección 5-2. Por otra parte, el enfoque puramente analítico nos lleva de las funciones hiperbólicas a las funciones de Bessel cuando pasamos de una aleta recta a una aleta trapezoidal.

REconocemos que el área de la superficie disponible para la convección en un nodo de la aleta trapezoidal es 2(iΔx/cosα), donde 2α es el ángulo entre las dos superficies inclinadas de la aleta trapezoidal. Además.

Observe que hemos expresado el espesor, ti, en términos de ti, tL, y M, que son cantidades fijas, e i, que es variable. Dicha forma facilita mucho la codificación de la ecuación para una computadora. Usando la ecuación (5-12) podemos escribir.

Comenzamos por analizar una aleta trapezoidal, cuya solución exacta nos lleva a las funciones de Bessel. Para resolver nuestro problema formulamos la ecuación para el nodo i-ésimo. La figura 5-6 nos ilustra una aleta trapezoidal, y una amplificación del elemento i-ésimo. Una vez más, requerimos expresiones para Q(i-1)→i, Qsuperior, etc. Considere Q(i-1)→i. Con flujo de calor unidimensional del nodo (i-1) al nodo i a lo largo de una distancia Δx, el flujo de calor está dado por

En la formulación de las ecuaciones que se hizo en la sección anterior, sólo cambió la temperatura de un elemento siguiente. En esta sección consideramos variaciones en el espesor, t, el coeficiente de transferencia de calor, h, y la conductividad térmica k.

Al incrementar el número total de nodos, crece en proporción geométrica el número de elementos de la matriz de coeficientes [A], y por lo tanto, el tiempo de computadora que se requiere para la solución también aumentará de acuerdo a lo antes mencionado. Si examinamos la tabla que nos proporcionan los valores de Qaleta, encontramos que, cuando el número de nodos, M, se aumenta de 4 a 128, los valores de Qaleta, que se obtienen de todas las ecuaciones, se aproximan más al resultado analítico. La aproximación de primer orden, Qaleta 1, es débil en convergencia, mientras que la aproximación de segundo orden, Qaleta 2, converge dentro de un rango de 0.25 por ciento al resultado analítico al aumentar M a 16. La expresión para Qaleta con el enfoque balance de energia, Qaleta 3, nos da un valor que se encuentra en un rango de 0.1% para un número tan pequeño como 4 nodos. el proceso de adaptación polinomial nos da resultados, Qaleta 4, que se encuentran dentro de un rango de 0.3 por ciento p

En la figura 5-5 se grafican las distribuciones de temperatura que se obtienen para M = 4 y para M = 128 y los resultados que se obtienen de acuerdo con la solución analítica. Resulta claro que la gráfica que, con una cantidad tan pequeña como cuatro nodos, la distribución de temperatura resultante coincide estrechamente con la que se obtiene de la solución analítica. En seguida se sintetizan los valores de Qaleta que obtuvimos para valores diferentes de M. En estos cáculos se usaron 12 digitos significativos.

En seguida se definen  las principales variables que se usan en los programas:

Escribimos un programa de computadora, para resolver las ecuaciones nodales para las temperaturas recurriendo a la subrutina GELG, y para calcular Q(aleta) empelando las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b), (5-9c) y (5-10). este programa nos calcula tambien Qaleta usando la solución análitica. Se usará la subrutina POLYFT para adaptar un polinomio a las temperaturas en los primeros cinco nodos. Se diseñará el programa para que acepte M valores diferentes. Los siguientes puntos forma un bosquejo de las principales operaciones en el programa. Leer las propiedades físicas, las dimensiones geométricas, y el número M de valores que se usarán, e imprimirlos. Calcular parámetros, como Δx, (hΔx/k), etc., y multiplicar variables por factores de conversión apropiados. Poner cero en la matriz de coeficientes [A] (esta operación no es necesaria para todas las computadoras). Esto se hace en todas y cada una de las entradas de la matriz y entonces los valores diferentes de cero se leen sobre ello

Una aleta de acero con espesor de 6 mm y longitud de 7 cm tiene una temperatura de 170°C en su base. La temperatura del aire ambiente es de 20°C, y el coeficiente convectivo de transferencia de calor es de 42.5 W/m.K, tanto para la superficie plana como para las extremidades de la aleta. Determine el calor que se disipa a través de la aleta usando las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b), (5-9c) y (5-10). Compare con el perfil de temperatura que se obtiene usando el método numérico con el que se obtiene usando la solución exacta. La conductividad térmica del acero se puede considerar como 50 W/m.k. Solución: se puede dividir la solución en cuatro pasos: Plantear las ecuaciones. Escribir los diferentes pasos incluidos en la secuencia computacional. Escribir un programa y realizarlo Graficar los resultados para el perfil de temperatura. Formulación de las ecuaciones: Hemos llevado a cabo el paso 1 en la sección 5-2. Se producen aquí las ecuaciones por conveniencia.

Ahora contamos con cinco ecuaciones diferentes para evaluar Q(aleta), a saber las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b), (5-9c) y (5-10). De todas éstas, sólo las ecuaciones (5-9) y (5-10) son consistentes con el esquema general de diferencias finitas. Las otras ecuaciones con formas expeditas para obtener valores mejorados de Q(aleta).

Otra forma más de calcular Q(aleta) consiste en observar que, la cantidad de calor que se conduce hacia la base de la aleta, lo disipa por convección la superficie de la aleta, y entonces te escribe una expresión para la pérdida de calor por convección. Asi que: El factor 2 que aparece en la integral se justifica debido a la pérdida por convección de la superficie superior y de la base de la aleta. El último término que aparece en la ecuación, representa la pérdida de calor por las extremidades de la aleta. En la nomenclatura de las diferencias finitas, esta ecuación se transforma en:

Otra forma de determinar el flujo de calor en base de la alerta, consiste en adaptar un polinomio de grado n a lo valores de la temperatura que se obtienen mediante la solución de diferencia finita. Esto se puede lograr usando una subrutina de la biblioteca de la computadora, dando por resultado una expresión como la siguiente: en la cual los ais son los coeficiente del polinomio de grado n. Cuando se especifica el grado, n, del polinomio a la subrutina, esta no devolverá los valores de las ais. Substituyendo el polinomio en la ecuación (5-8), obtenemos.

De acuerdo con el método de diferencias finitas que se usó en el desarrollo de las ecuaciones (5-1, a), la cantidad Q1-2 es, en realidad, una aproximación del calor que se conduce en x = Δx/2. Por lo tanto, cuando se calcula se debe tomar en cuenta la energía calorifica que se disipa por la convección, de la superficie superior y de la base del elemento de aleta cuya longitud es (Δx/2), situado entre x = 0 y x = (1/2)Δx, hacia el exterior. La temperatura media de dicho elemento es:

Al aumentar el número de nodos para una aleta dada, Δx decrece, y las ecuaciones (5-9) y (5-9a) darán valores que se acercan a los valores exactos. De las dos ecuaciones anteriores, la ecuación (5-9a) es la que, en general, dará un resultado más adecuado. En el método numérico, la razón de calor que se conduce hacia adentro del elemento asociado con el segundo nodo, está dada por: que es igual a la ecuación (5-9).

Dividiendo la ecuación anterior entre (Δx) y rearreglando, se tiene el resutaldo.

La cantidad de calor que debe fluir hacia adentro de la aleta, proveniente del cuerpo al cual se encuentra anexa la aleta está dado por:

Se supone una solución de tanteo para iniciar las iteraciones. Considerando la fisica de un problema dado, usualmente no resulta muy dificil suponer una solución tentativa. Por ejemplo, para el problema de la aleta, donde se tiene que las temperaturas en los extremos del sistema son To y T∞, se puede suponer una variación lineal de la temperatura a lo largo de la aleta con T = To en x = 0 y T = T∞ en x = L. Los valores que hemos supuesto para las temperaturas se introducen en los miembros derechos de todas ecuaciones, i.e., en las ecuaciones (5-7), y se obtiene un nuevo conjunto de las Tis. En seguida, se comparan los valores de los Tis que se calculan, con los valores que originalmente se supusieron. Es común que, después de la primera iteración, habrá grandes diferencias entre los valores supuestos para los Tis, y los valores de los Tis que se obtienen después de la primera iteración. Para comenzar la segunda iteración, se rremplazan los valores originalmente supuestos para los T

Observe que en la primera ecuación del conjunto que se plantea en (5-7), T1 aparece sola en el miembro de la izquierda de la ecuación, y no aparece entre los argumentos de la función f1.* En general, la i-ésima ecuación expresa a Ti como función de todas las temperaturas, salvo Ti. Siguiendo el esquema de ecuaciones (5-7), deberíamos escribir el conjunto de ecuaciones para nuestro problema de la aleta como:

La ecuación (5-6a) declara que el vector de las temperaturas incógnitas, Tis, es igual al producto de la matriz [A]^-1 y el vector {B}. Se puede usar una subrutina tal como MINV para obtener los elementos de la inversa de la matriz [A]. Finalmente, se puede usar una subrutina tal como GMPRD para multiplicar [A]^-1 y {B} dando los valores de las incógnitas Tis Cuando el número de ecuaciones se hace muy grande, como en el caso de un problema multidimensional de estado no estacionario, las subrutinas requieren un gran espacio de almacenamiento en la memoria de la computadoras. Cuando el número de ecuaciones excede de unos cuantos cientos, se hace impráctico usar subrutinas. El método iterativo, que se discutirá brevemente, no requiere de subrutinas o un gran espacio de almacenamiento. Dicho método puede atender con toda facilidad miles de ecuaciones. Esto no impide, sin embargo, el uso del método iterativo para unas cuantas ecuaciones. En el método iterativo de solución, todas las ecu

Para resolver la ecuación (5-6)  con la ayuda de la computadora, escribimos un programa diseñado para calcular los elementos de la matriz [A] y el vector {B}. Entonces el programa entrega los valores numéricos de la matriz y del vector a una subrutina tal como la SIMQ. Subsecuentemente, la subrutina regresa los valores de las incógnitas Ts al programa principal, que entonces se puede imprimirse. Otra forma de resolver la ecuación (5-6) sería la de multiplicar ambos miembros de la ecuación (5-6) por la matriz [A]^-1, que es la inversa de la matriz [A], con el fin de obtener.

Ahora examinamos brevemente algunos de los métodos que se usan para resolver el conjunto de ecuaciones lineales algebraicas simultáneas como el antes escrito. La mayor parte de las computadoras actuales cuentan con una biblioteca completa de programas, a los cuales se les llama subrutinas, que nos son útiles para hacer trabajos tales como encontrar las raíces de un polinomio, invertir matrices, resolver ecuaciones lineales algebraicas simúltaneas, etc. Por ejemplo, existe una subrutina que recibe el nombre de SIMQ y que sirve para resolver un conjunto de ecuaciones lineales algebraicas simultáneas. Para usar la subrutina SIMQ se requiere que se arregle el conjunto dado de ecuaciones en forma matricial, como sigue:

A las ecuaciones (5-4) y (5-5a) se les conoce como las ecuaciones para los nodos frontera. Dichas ecuaciones, junto con la ecuación (5-2a), representan un conjunto completo de M ecuaciones simultáneas con M temperaturas incógnitas. Ahora definimos β y γ por

Se debe observar que anda se gana en este punto si se efectúa un balance de energía en el nodo 1, ya que la cantidad de calor, Qaleta, que fluye hacia la aleta en su base es desconocida. De hecho, uno de los objetivos de la solución es la determinación de Qaleta, ya que esta cantidad es justo el calor que disipa la aleta cuando se le anexa a la superficie, la cual se encuentra a una temperatura To. La segunda condición en la frontera, ecuación (5-3a), establece que el valor que llega por conducción a las extremidades de la aleta, se desecha por convección desde dichas extremidades de la aleta hacia el fluido circundante. Para utilizar esta condición en el método numérico aproximado, tenemos que efectuar un balance de energía en el M-ésimo elemento (fig 5-4) Esto nos da.

Claramente, cuando se evalúa la ecuación (5-2a) en i = 2,3.....,(M-1), se tiene una situación de (M-2) ecuaciones con M incógnitas (de T1 hasta Tm), indicando que se requiere de dos ecuaciones más para poder determinar una solución. Las dos ecuaciones que faltan serán proporcionadas por las condiciones en la frontera del problema dado, dichas condiciones son Ya que todo el calor que se conduce hacia el extremo de la aleta se transfiere por convección del extremo de la aleta hacia el fluido que la rodea. La primera condición da como resultado inmediato la ecuación. T1 =To

Se observa que la ecuación (5-2a) es válida para todos y cada uno de los nodos internos de nuestra configuración. Se le conoce como la ecuación para el i-ésimo nodo, debido a que dicha ecuación es el resultado que se obtiene al efectuar un balance de energía en el i-ésimo elemento. Por ejemplo, cuando se escribe la ecuación para el segundo y el (M-1)-ésimo nodos, se tiene.

La ecuación (5-2a) contiene tres temperaturas desconocidas, a saber T(I-1), TI, y T(i+1), y la temperatura conocida, T∞. Los coeficientes de estas incógnitas y la cantidad que aparece en el miembro de la derecha de la ecuación se conocen de las dimensiones de la red y las propiedades físicas del material que constituye la aleta. Usualmente se prescribe el coeficiente convectivo de transferencia de calor, h, o bien se puede determinar su valor usando las relaciones existentes para convección natural y forzada. Los coeficientes de las incógnitas que aparecen en la ecuación (5-2a) no tienen dimensiones. Por ejemplo, el coeficiente de T∞, se puede escribir en la forma. La cantidad (hΔx/k) es el número de Biot, ΔBi, para el elemento con amplitud de fase Δx. El estudiante debe recordar que el número de Biot, que introdujimos en el capítulo 4, determina si se puede usar un modelo de parámetro en bulto para transferencia de calor no estacionario en un cuerpo. El número de Biot no tiene

Bajo condiciones de estado estacionario, la energía neta que entra en el elemento i, debe ser igual a cero. Al substituir las ecuaciones (5-1, a, b y c) se tiene Multiplicando la ecuación anterior por (Δx/kt) y arreglando, se obtiene.