Conductividad térmica variable (I)

Las variaciones en la conductividad térmica, k, debidas a cambios de temperatura se pueden tomar en cuenta de la siguiente manera. Recuerde que la ecuación (5-1) nos da el flujo de calor unitario en la cara izquierda del elemento, asociado con el nodo i-esimo. Por lo tanto, la conductividad, k, que aparece en dicha ecuación se debe evaluar a la temperatura media de la cara izquierda del elemento. Si el espacio entre nodos es uniforme, evaluamos la conductividad a una temperatura que resulta ser el promedio de las temperaturas en el nodo (i-1)-ésimo y el nodo i-ésimo. Indicando este valor de la conductividad como k(1-1/2), la expresión para Q(i-1)-i se transforma en:

Coeficiente convectivo de transferencia de calor variable (II)

En situaciones practicas que incluyen convección natural, el coeficiente de transferencia de calor, h, queda prescrito mediante la relación siguiente:

h = C(T - T∞)^n

siendo especificadas C y n. Como se conocen las temperaturas por anticipado, es imposible calcular los valores de h como entradas. Por lo tanto se requiere de un procedimiento iterativo. En seguida se da una lista de los pasos que se incluyen en dicho procedimiento.

1. Se calcula h para T = To usando la ecuación (5-18)
2. Se hacen todos los his igual al vector calculado en el paso 1.
3. Se resuelven las ecuaciones (5-14), (5-16) par alos Tis
4. Se calculan una vez más todos los valores hi usando la ecuación (5-18), y empleando las temperaturas que se encontraron en el paso 3.
5. Usando los últimos valores hi, repita el paso 3
6. Se comparan las temperaturas que se obtienen en el paso anterior con las que se obtuvieron en el paso 3. Si las diferencias son menores que una tolerancia preestablecida, detenga; de otro modo, repita los pasos 4,5 y 6.

Usualmente, la convergencia es bastante rápida. Se debe observar que es virtualmente imposible una solución analítica.

Coeficiente convectivo de transferencia de calor variable (I)

En seguida consideramos las variaciones en los valores del coeficiente de transferencia de calor, h. Si se sabe que h varía de acuerdo a una relación funcional bien definida que depende de x, entonces todo lo que se tiene que hacer es evaluar h para los diferentes xis y con esto se colecciona un conjunto de valores hi, i = 1,2,.... M. De aqui ve, siempre que encontramos h en las ecuaciones para dos nodos, sencillamente reemplazamos h por hi. Así que las ecuaciones (5-13) y (5-15) se debe transformar en:

en cuya expresión hL es el coeficiente de transferencia de calor en las extremidades de la aleta (x=L), el cual podria ser diferente de hi para i = M, el coeficiente de transferencia de calor en la superficie del M-ésimo elemento.

Espesor Variable (IV)

Con entradas conocidas para los coeficientes, se pueden programar con facilidad las ecuaciones (5-13) a (5-15). Cuando pasamos de una aleta recta a una aleta trapezoidal, el único cambio que surge en el enfoque numérico consiste en un conjunto algo complejo de coeficientes en las ecuaciones de diferencias. Sin embargo, los proecedimientos que se emplean en la solución de estas ecuaciones son los mismos que se discutieron en la sección 5-2. Por otra parte, el enfoque puramente analítico nos lleva de las funciones hiperbólicas a las funciones de Bessel cuando pasamos de una aleta recta a una aleta trapezoidal.

Espesor Variable (III)

REconocemos que el área de la superficie disponible para la convección en un nodo de la aleta trapezoidal es 2(iΔx/cosα), donde 2α es el ángulo entre las dos superficies inclinadas de la aleta trapezoidal. Además.

Espesor Variable (II)

Observe que hemos expresado el espesor, ti, en términos de ti, tL, y M, que son cantidades fijas, e i, que es variable. Dicha forma facilita mucho la codificación de la ecuación para una computadora.

Usando la ecuación (5-12) podemos escribir.

Espesor Variable

Comenzamos por analizar una aleta trapezoidal, cuya solución exacta nos lleva a las funciones de Bessel. Para resolver nuestro problema formulamos la ecuación para el nodo i-ésimo. La figura 5-6 nos ilustra una aleta trapezoidal, y una amplificación del elemento i-ésimo. Una vez más, requerimos expresiones para Q(i-1)→i, Qsuperior, etc. Considere Q(i-1)→i. Con flujo de calor unidimensional del nodo (i-1) al nodo i a lo largo de una distancia Δx, el flujo de calor está dado por

Formulación unidimensional Extendida

En la formulación de las ecuaciones que se hizo en la sección anterior, sólo cambió la temperatura de un elemento siguiente. En esta sección consideramos variaciones en el espesor, t, el coeficiente de transferencia de calor, h, y la conductividad térmica k.

Resultados Problema de Razón de flujo de calor (II)

Al incrementar el número total de nodos, crece en proporción geométrica el número de elementos de la matriz de coeficientes [A], y por lo tanto, el tiempo de computadora que se requiere para la solución también aumentará de acuerdo a lo antes mencionado.

Si examinamos la tabla que nos proporcionan los valores de Qaleta, encontramos que, cuando el número de nodos, M, se aumenta de 4 a 128, los valores de Qaleta, que se obtienen de todas las ecuaciones, se aproximan más al resultado analítico. La aproximación de primer orden, Qaleta 1, es débil en convergencia, mientras que la aproximación de segundo orden, Qaleta 2, converge dentro de un rango de 0.25 por ciento al resultado analítico al aumentar M a 16. La expresión para Qaleta con el enfoque balance de energia, Qaleta 3, nos da un valor que se encuentra en un rango de 0.1% para un número tan pequeño como 4 nodos. el proceso de adaptación polinomial nos da resultados, Qaleta 4, que se encuentran dentro de un rango de 0.3 por ciento para un valor M igual o mayor que 8. Se obtiene la misma conclusion cuando la disipación de calor, Qaleta 5, se obtiene sumando la perdida de calor por convección a través de la superficie de la aleta. Este enfoque siempre entrega valores que están por encima del valor que se obtiene con la solución analítica. Todos los demás enfoques tienden a dar estimaciones de la disipación de calor a través de la aleta, que se encuentra por debajo del valor que entrega la solución analítica.

Resultados Problema de Razón de flujo de calor (I)

En la figura 5-5 se grafican las distribuciones de temperatura que se obtienen para M = 4 y para M = 128 y los resultados que se obtienen de acuerdo con la solución analítica. Resulta claro que la gráfica que, con una cantidad tan pequeña como cuatro nodos, la distribución de temperatura resultante coincide estrechamente con la que se obtiene de la solución analítica.

En seguida se sintetizan los valores de Qaleta que obtuvimos para valores diferentes de M. En estos cáculos se usaron 12 digitos significativos.

Variables en el programa Fortran

En seguida se definen  las principales variables que se usan en los programas:

Codificación de las ecuaciones

Escribimos un programa de computadora, para resolver las ecuaciones nodales para las temperaturas recurriendo a la subrutina GELG, y para calcular Q(aleta) empelando las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b), (5-9c) y (5-10). este programa nos calcula tambien Qaleta usando la solución análitica. Se usará la subrutina POLYFT para adaptar un polinomio a las temperaturas en los primeros cinco nodos. Se diseñará el programa para que acepte M valores diferentes. Los siguientes puntos forma un bosquejo de las principales operaciones en el programa.

1. Leer las propiedades físicas, las dimensiones geométricas, y el número M de valores que se usarán, e imprimirlos.
2. Calcular parámetros, como Δx, (hΔx/k), etc., y multiplicar variables por factores de conversión apropiados.
3. Poner cero en la matriz de coeficientes [A] (esta operación no es necesaria para todas las computadoras). Esto se hace en todas y cada una de las entradas de la matriz y entonces los valores diferentes de cero se leen sobre ellos.
4. Calcular los elementos de [A] y [B] y recurrir a la subrutina GELG
5. Calcular Q(aleta) según las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b) y (5-10).
6. Acudir al POLYFT y calcular Q(aleta) de acurdo a la ecuación (5-9c)
7. Imprimir los valores de Tis y Q(aleta)
8. Leer un nuevo valor de M e ir al paso 3. Si se han procesado todos los M valores, detenga.

Problema de Razón de flujo de calor

Una aleta de acero con espesor de 6 mm y longitud de 7 cm tiene una temperatura de 170°C en su base. La temperatura del aire ambiente es de 20°C, y el coeficiente convectivo de transferencia de calor es de 42.5 W/m.K, tanto para la superficie plana como para las extremidades de la aleta. Determine el calor que se disipa a través de la aleta usando las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b), (5-9c) y (5-10). Compare con el perfil de temperatura que se obtiene usando el método numérico con el que se obtiene usando la solución exacta. La conductividad térmica del acero se puede considerar como 50 W/m.k.

Solución: se puede dividir la solución en cuatro pasos:

1. Plantear las ecuaciones.
2. Escribir los diferentes pasos incluidos en la secuencia computacional.
3. Escribir un programa y realizarlo
4. Graficar los resultados para el perfil de temperatura.

Formulación de las ecuaciones:

Hemos llevado a cabo el paso 1 en la sección 5-2. Se producen aquí las ecuaciones por conveniencia.

Razón de flujo de calor (VII)

Ahora contamos con cinco ecuaciones diferentes para evaluar Q(aleta), a saber las ecuaciones (5-9), (5-9a), (5-9b), (5-9c) y (5-10). De todas éstas, sólo las ecuaciones (5-9) y (5-10) son consistentes con el esquema general de diferencias finitas. Las otras ecuaciones con formas expeditas para obtener valores mejorados de Q(aleta).

Razón de flujo de calor (VI)

Otra forma más de calcular Q(aleta) consiste en observar que, la cantidad de calor que se conduce hacia la base de la aleta, lo disipa por convección la superficie de la aleta, y entonces te escribe una expresión para la pérdida de calor por convección. Asi que:

El factor 2 que aparece en la integral se justifica debido a la pérdida por convección de la superficie superior y de la base de la aleta. El último término que aparece en la ecuación, representa la pérdida de calor por las extremidades de la aleta. En la nomenclatura de las diferencias finitas, esta ecuación se transforma en:

Razón de flujo de calor (V)

Otra forma de determinar el flujo de calor en base de la alerta, consiste en adaptar un polinomio de grado n a lo valores de la temperatura que se obtienen mediante la solución de diferencia finita. Esto se puede lograr usando una subrutina de la biblioteca de la computadora, dando por resultado una expresión como la siguiente:

en la cual los ais son los coeficiente del polinomio de grado n. Cuando se especifica el grado, n, del polinomio a la subrutina, esta no devolverá los valores de las ais. Substituyendo el polinomio en la ecuación (5-8), obtenemos.

Razón de flujo de calor (IV)

De acuerdo con el método de diferencias finitas que se usó en el desarrollo de las ecuaciones (5-1, a), la cantidad Q1-2 es, en realidad, una aproximación del calor que se conduce en x = Δx/2. Por lo tanto, cuando se calcula se debe tomar en cuenta la energía calorifica que se disipa por la convección, de la superficie superior y de la base del elemento de aleta cuya longitud es (Δx/2), situado entre x = 0 y x = (1/2)Δx, hacia el exterior. La temperatura media de dicho elemento es:

Razón de flujo de calor (III)

Al aumentar el número de nodos para una aleta dada, Δx decrece, y las ecuaciones (5-9) y (5-9a) darán valores que se acercan a los valores exactos. De las dos ecuaciones anteriores, la ecuación (5-9a) es la que, en general, dará un resultado más adecuado.

En el método numérico, la razón de calor que se conduce hacia adentro del elemento asociado con el segundo nodo, está dada por:

que es igual a la ecuación (5-9).

Razón de flujo de calor (II)

Dividiendo la ecuación anterior entre (Δx) y rearreglando, se tiene el resutaldo.

Razón de flujo de calor (I)

La cantidad de calor que debe fluir hacia adentro de la aleta, proveniente del cuerpo al cual se encuentra anexa la aleta está dado por:

Distribución de temperatura (XIII)

Se supone una solución de tanteo para iniciar las iteraciones. Considerando la fisica de un problema dado, usualmente no resulta muy dificil suponer una solución tentativa. Por ejemplo, para el problema de la aleta, donde se tiene que las temperaturas en los extremos del sistema son To y T∞, se puede suponer una variación lineal de la temperatura a lo largo de la aleta con T = To en x = 0 y T = T∞ en x = L. Los valores que hemos supuesto para las temperaturas se introducen en los miembros derechos de todas ecuaciones, i.e., en las ecuaciones (5-7), y se obtiene un nuevo conjunto de las Tis. En seguida, se comparan los valores de los Tis que se calculan, con los valores que originalmente se supusieron. Es común que, después de la primera iteración, habrá grandes diferencias entre los valores supuestos para los Tis, y los valores de los Tis que se obtienen después de la primera iteración.

Para comenzar la segunda iteración, se rremplazan los valores originalmente supuestos para los Tis por los valores iterados, y se obtiene un nuevo conjunto de valores de los Tis al emplear una vez más las ecuaciones (5-7). Entonces se hace una comparación entre el conjunto de valores que se obtienen antes y después de la segunda iteración. Se repite el proceso de iteración hasta que los resultados que se obtienen en dos iteraciones sucesivas se encuentran dentro de una tolerancia prescrita, en este punto se detiene el proceso iterativo y se imprimen los valores finales de las temperaturas.

Una variación del método anterior emplea los valores de las temperaturas más recientemente calculados para introducirlos en los miembros de la derecha de las ecuaciones (5-7). A este método se le llama, método de Gauss-Seidel.

Antes de la llegada de las computadoras, se usó ampliamente el método de relajación de Southwell (referencia 1) para resolver ecuaciones simultáneas. Se trata, básicamente, de un procedimiento tentativa-y-error. Los lectores interesados en este método pueden ver las referencias 2 y 3.

Distribución de temperatura (XII)

Observe que en la primera ecuación del conjunto que se plantea en (5-7), T1 aparece sola en el miembro de la izquierda de la ecuación, y no aparece entre los argumentos de la función f1.* En general, la i-ésima ecuación expresa a Ti como función de todas las temperaturas, salvo Ti.

Siguiendo el esquema de ecuaciones (5-7), deberíamos escribir el conjunto de ecuaciones para nuestro problema de la aleta como:

Distribución de temperatura (XI)

La ecuación (5-6a) declara que el vector de las temperaturas incógnitas, Tis, es igual al producto de la matriz [A]^-1 y el vector {B}. Se puede usar una subrutina tal como MINV para obtener los elementos de la inversa de la matriz [A]. Finalmente, se puede usar una subrutina tal como GMPRD para multiplicar [A]^-1 y {B} dando los valores de las incógnitas Tis

Cuando el número de ecuaciones se hace muy grande, como en el caso de un problema multidimensional de estado no estacionario, las subrutinas requieren un gran espacio de almacenamiento en la memoria de la computadoras. Cuando el número de ecuaciones excede de unos cuantos cientos, se hace impráctico usar subrutinas. El método iterativo, que se discutirá brevemente, no requiere de subrutinas o un gran espacio de almacenamiento. Dicho método puede atender con toda facilidad miles de ecuaciones. Esto no impide, sin embargo, el uso del método iterativo para unas cuantas ecuaciones.

En el método iterativo de solución, todas las ecuaciones se arreglan en la forma siguiente:

Distribución de temperatura (X)

Para resolver la ecuación (5-6)  con la ayuda de la computadora, escribimos un programa diseñado para calcular los elementos de la matriz [A] y el vector {B}. Entonces el programa entrega los valores numéricos de la matriz y del vector a una subrutina tal como la SIMQ. Subsecuentemente, la subrutina regresa los valores de las incógnitas Ts al programa principal, que entonces se puede imprimirse.

Otra forma de resolver la ecuación (5-6) sería la de multiplicar ambos miembros de la ecuación (5-6) por la matriz [A]^-1, que es la inversa de la matriz [A], con el fin de obtener.

Distribución de temperatura (IX)

Ahora examinamos brevemente algunos de los métodos que se usan para resolver el conjunto de ecuaciones lineales algebraicas simultáneas como el antes escrito.

La mayor parte de las computadoras actuales cuentan con una biblioteca completa de programas, a los cuales se les llama subrutinas, que nos son útiles para hacer trabajos tales como encontrar las raíces de un polinomio, invertir matrices, resolver ecuaciones lineales algebraicas simúltaneas, etc. Por ejemplo, existe una subrutina que recibe el nombre de SIMQ y que sirve para resolver un conjunto de ecuaciones lineales algebraicas simultáneas. Para usar la subrutina SIMQ se requiere que se arregle el conjunto dado de ecuaciones en forma matricial, como sigue:

Distribución de temperatura (VIII)

A las ecuaciones (5-4) y (5-5a) se les conoce como las ecuaciones para los nodos frontera. Dichas ecuaciones, junto con la ecuación (5-2a), representan un conjunto completo de M ecuaciones simultáneas con M temperaturas incógnitas.

Ahora definimos β y γ por

Distribución de temperatura (VII)

Se debe observar que anda se gana en este punto si se efectúa un balance de energía en el nodo 1, ya que la cantidad de calor, Qaleta, que fluye hacia la aleta en su base es desconocida. De hecho, uno de los objetivos de la solución es la determinación de Qaleta, ya que esta cantidad es justo el calor que disipa la aleta cuando se le anexa a la superficie, la cual se encuentra a una temperatura To. La segunda condición en la frontera, ecuación (5-3a), establece que el valor que llega por conducción a las extremidades de la aleta, se desecha por convección desde dichas extremidades de la aleta hacia el fluido circundante.

Para utilizar esta condición en el método numérico aproximado, tenemos que efectuar un balance de energía en el M-ésimo elemento (fig 5-4) Esto nos da.

Distribución de temperatura (VI)

Claramente, cuando se evalúa la ecuación (5-2a) en i = 2,3.....,(M-1), se tiene una situación de (M-2) ecuaciones con M incógnitas (de T1 hasta Tm), indicando que se requiere de dos ecuaciones más para poder determinar una solución. Las dos ecuaciones que faltan serán proporcionadas por las condiciones en la frontera del problema dado, dichas condiciones son

Ya que todo el calor que se conduce hacia el extremo de la aleta se transfiere por convección del extremo de la aleta hacia el fluido que la rodea. La primera condición da como resultado inmediato la ecuación.

T1 =To

Distribución de temperatura (V)

Se observa que la ecuación (5-2a) es válida para todos y cada uno de los nodos internos de nuestra configuración. Se le conoce como la ecuación para el i-ésimo nodo, debido a que dicha ecuación es el resultado que se obtiene al efectuar un balance de energía en el i-ésimo elemento. Por ejemplo, cuando se escribe la ecuación para el segundo y el (M-1)-ésimo nodos, se tiene.

Distribución de temperatura (IV)

La ecuación (5-2a) contiene tres temperaturas desconocidas, a saber T(I-1), TI, y T(i+1), y la temperatura conocida, T∞. Los coeficientes de estas incógnitas y la cantidad que aparece en el miembro de la derecha de la ecuación se conocen de las dimensiones de la red y las propiedades físicas del material que constituye la aleta. Usualmente se prescribe el coeficiente convectivo de transferencia de calor, h, o bien se puede determinar su valor usando las relaciones existentes para convección natural y forzada.

Los coeficientes de las incógnitas que aparecen en la ecuación (5-2a) no tienen dimensiones. Por ejemplo, el coeficiente de T∞, se puede escribir en la forma.

La cantidad (hΔx/k) es el número de Biot, ΔBi, para el elemento con amplitud de fase Δx. El estudiante debe recordar que el número de Biot, que introdujimos en el capítulo 4, determina si se puede usar un modelo de parámetro en bulto para transferencia de calor no estacionario en un cuerpo. El número de Biot no tiene un significado particular, al modelar con nodos los problemas de conducción de calor bajo condiciones de estado estacionario.

Distribución de temperatura (III)

Bajo condiciones de estado estacionario, la energía neta que entra en el elemento i, debe ser igual a cero.

Al substituir las ecuaciones (5-1, a, b y c) se tiene



Multiplicando la ecuación anterior por (Δx/kt) y arreglando, se obtiene.

Distribución de temperatura (II)

La razón de calor que se conduce del (i+1)-ésimo nodo es

De acuerdo a la física del problema, sabemos que el calor se debe conducir desde i a (i+1) si el nodo i se encuentra a una temperatura más alta que (i+1). Sin embargo resulta conveniente emplear la forma de la ecuación (5-1a) para mantener la teneduría de libros sencilla. Si, en realidad, T(i+1) es menor que Ti, la ecuación (5-1a) nos entrega automáticamente una cantidad negativa, forzándonos a invertir la dirección de la flecha Q(i+1)→ i

Para el calor que fluye hacia dentro por convección en las caras superior e inferior, las expresiones son:

Distribución de temperatura (I)

Hasta aquí hemos realizado los pasos 1 y 2 que se bosquejan en la sección 5-1. En seguida, con el fin de determinar la distribución de temperatura en la aleta, efectuamos un balance de energía en el nodo i-ésimo, que es representativo de todos y cada uno de los nodos internos desde i=2 hasta i=(M-1). Los nodos 1 y M se tratan por separado.

Por conveniencia en la deducción, se supone que la energía calorífica fluye hacia dentro del i-ésimo elemento por conducción por la izquierda y por la derecha por convección desde la parte superior y desde la parte inferior. Esto se ilustra en la figura 5-3. La suma algebraica de estas cuatro contribuciones debe ser igual a cero bajo condiciones de estado estacionario, o igual al cambio en la energía interna del i-ésimo elemento bajo condiciones no estacionarias. Ahora procedemos escribiendo expreciones para el flujo de calor hacia dentro del elemento desde las diferentes direcciones.

La razón de calor que se conduce desde el (i+1)-ésimo nodo hacia el i-ésimo nodo (figura 5-3) es

La ecuación anterior está basada en las suposiciones de que al temperatura varía linealmente de (i-1) a i y el área disponible para el flujo de calor es (t.1), donde t es el espesor de la aleta. También observamos que Δx es la distancia entre los nodos (i-1) e i.

Formulacion unidimensional (III)

Se considera que el dominio de cada nodo interno recorre una distancia (±Δx/2) a cada lado de su posición. De este modo, un nodo interno es representativo de un bloque o elemento de dimensiones (Δx . t . 1), en cuya expresión se considera una profundidad unitaria hacia dentro del plano del papel. Se supone para los fines del método numérico, que la temperatura media de este elemento es Ti, y que la temperatura media cambia a T(i+1) y T(i-1) para los dos elementos adyacentes según se muestra en la figura 5-3. Las coordenadas de estos elementos en la dirección de las x, se pueden designar mediante xi, x(i+1), x(i-1), etc., y los puntos centrales de estos elementos, es decir los puntos nodales, se pueden designar de igual modo como i, (i+1), 9i-1), etc. Los nodos den la frontera, el primero y el M-ésimo nodos en la figura 5-2, son los nodos frontera, y representan a elementos de dimensiones (Δx/2)(t . 1), esto es, los elementos frontera tienen la mitad del tamaño que tienen los elementos internos.

Formulacion unidimensional (II)

Consideramos una aleta rectangular de longitud, L, y espesor uniforme, t. La temperatura en su base (x = 0) es To y la extremidad de la aleta (x = L) pierde calor por convección. Suponga que la temperatura ambiente es T∞. Supongamos que todas las temperaturas son estables con respecto al tiempo. Se supone que los coeficientes convectivos de transferencia de calor para la superficie superior, la superficie en la base, y las extremidades, son idéntidos y se designan por h. También suponemos que el material de que está hecha la aleta tiene conductividad constante, k.

La figura 5-2 muestra la longitud, L, de la aleta dividida en (M-1) partes iguales, con longitud Δx, cada una de ellas dando por resultado M nodos. Con frecuencia resulta satisfactorio contar un valor de M igual a 10. En general, se mejora la exactitud de la solución cuando se hace crecer el valor de M.

Formulacion unidimensional (I)

Es un problema tipico de aletas, la cantidad de calor que pasa a través de la sección transversal de la aleta decrece progresivamente al  ir de la base de la aleta hacia el extremo de la misma. Esto se debe al calor que por convección, fluye de la superficie de la aleta hacia el fluido ambiente. Cuando se dan valores específicos de la temperatura en la base, la temperatura del fluido ambiente, y los coeficientes convectivos de transferencia de calor en la pared superior y la superficie del fondo de la aleta, usualmente nos interesa determinar la distribución de temperatura en la aleta y la razón de flujo de calor en su base. El flujo de calor es igual a la energía que se extrae de la superficie a la cual se encuentra anexa la aleta. En esta sección, aplicaremos métodos numéricos a una aleta recta con sección transversal rectangular, y obtendremos una solución que se compara con una solución análitica existente. En este momento no necesitamos conocer el método que se requiere para obtener la solución análitica; sencillamente usaremos las expresiones con que contamos para la distribución de temperatura y la razón de flujo de calor, según se dieron en el capitulo 2.

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (V)

El trato que se da a otras geometrías unidimensionales y a los casos en que e cuenta con propiedades físicas variables se describe siguiendo la discusión que se proporciona en los capitulos anteriores, para las aletas. La sección 5-4 trata de la solución numérica de problemas bidimensionales con  una gran variedad de condiciones en la frontera. Finalmente se discuten situaciones de estado no estacionario con formulaciones explicitas e implicitas. Se presentan, además, criterios simplificados de estabilidad numérica para los casos de estado no estacionario.

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (IV)

Como el lector puede apreciar en los capitulos que se han dedicado a la conducción de calor, el grado de complejidad aumenta cuando se pasa de transferencia de calor unidimensional en cuerpos con conductividad constante, a problemas de conducción de calor multidimensional y/o bajo condiciones de estado no estacionario en cuerpos cuyas propiedades varian. En este capítulo, se discuten problemas cuya complejidad varia sucesivamente.

Al discutir las soluciones numéricas para problemas de estado estacionario, se presenta en primer lugar el problema de una aleta rectangular. Una aleta rectangular es sencillamente una pequeña placa, delgada que se anexa a una pared cuya temperatura es constante. Las aletas se usan para aumentar la razón de transferencia de calor de una superficie aumentando el área disponible para la transferencia de calor por convección. La energía calorifica se conduce hacia la aleta a través de su base o raíz en la pared. Entonces dicha energía se transporta por convección desde la cima y el fondo de la aleta hacia afuera. Si el espesor de la aleta es uniforme, se le llamará aleta rectangular. El problema de la aleta rectangular es en esencia, un caso de transferencia de calor unidimensional.

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (III)

4. Se efectúa un balance de energía en cada elemento que interviene para llegar a una ecuación algebraica para temperatura del nodo.
5. Se arreglan todas las ecuaciones en una forma adecuada, de modo tal que se pueden resolver mediante un proceso iterativo o por algún otro método y obtener así una solución con auxilio de una computadora.

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (II)

3. Se supone que a) la temperatura de un elemento se representa por la del nodo, b) la distribución de temperatura entre dos nodos adyacentes es líneal, c) la conductividad térmica que se usa para el flujo de calor entre dos nodos adyacentes se evalúa en la temperatura de la interface de los dos elementos adyacentes, y d) el área disponible para la conducción de calor entre dos nodos adyacentes es el área de la interface de los dos elementos.

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (I)

1. Se reúne toda la información importante acerca del problema dado, incluyendo geometría, condiciones en la frontera (temperaturas preestablecidas, flujos de calor unitario preestablecidos, fronteras aisladas, radiación en las fronteras, convección natural o frozada en las fronteras), y propiedades físicas.
2. Se divide el cuerpo en una red patrón, que lo subdivide en un número finito de elementos y puntos llamados nodos. La exactitud aumentará tanto como la red se haga más fina; sin embargo, aumentará el tiempo requerido para encontrar la solución. En análisis numérico de conducción de calor, se usa a un nodo en general para representar a un elemento. El nodo de un elemento interior se localiza en el centro del elemento. Un nodo de un elemento de la frontera se encuentra en la superficie exterior del elemento.

Métodos numéricos en conducción de calor (II)

En todos los casos antes mencionados, y en muchos otros, si uno está equipado con los principios fundamentales de conducción de calor que hemos tratado al principio de este blog, y con cierto conocimiento de métodos numéricos y programación de computadoras (usualmente Fortran IV), se obtendrá con éxito la solución requerida. Los métodos numéricos que se presentarán en este capitulo están basados en la técnica de diferencia finita. Se deducirán las ecuaciones de diferencia finita, aplicando el principio de conservación de la energía. Este enfoque, que nos mantiene en contacto con la física del problema, se considera más conveniente que el enfoque alterno de comenzar con las ecuaciones diferenciales existentes de conservación de energía y luego partirlas en forma de diferentes finitas. De aquí en adelante, se supone que el estudiante cuenta con un primer curso en programación Fortran IV.

En los métodos exactos de análisis, se busca una función matemática que dependa de las variables espaciales (x,y,z) y del tiempo (t), que nos dará un valor de la temperatura ( o flujo de calor unitario) en cada punto de un cuerpo y en cada tiempo dado. En los métodos numéricos, se dirige la atención hacia un número finito de puntos discretos dentro del cuerpo dado y sobre su superficie.

Métodos numéricos en conducción de calor (I)

El uso de los métodos numéricos para resolver problemas de transferencia de calor, resulta de la complejidad de las soluciones asociadas a los problemas prácticos de ingeniería. Con frecuencia, las soluciones analíticas son imposibles. Los factores que conducen al uso de los métodos numéricos son la geometría compleja, condiciones en la frontera no uniformes, condiciones en la frontera que dependen del tiempo, y propiedades que dependen de la temperatura. Ejemplos de geometría compleja se encuentran en las paletas de una turbina, los cilindros de una máquina de combustión interna, y la estructura de soporte para una línea de tubería que transporta fluidos calientes. Los coeficientes convectivos de transferencia de calor, involucrados en las condiciones en la frontera para problemas de conducción, varian en general con la posición y en problemas de convección natural pueden llegar a depender hasta de la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido. Cuando se presentan gran des cambios de temperatura dentro de un cuerpo dado, usualmente la conductividad térmica no es constante y más bien se espera que varie significativamente dentro del cuerpo.

En algunos casos, es posible conseguir soluciones analíticas, en principio, pero puede ser mucho más difícil la mecánica que se requiere para obtener la solución, que la tarea requerida para resolver el problema numéricamente. Por ejemplo, en el caso de un cuerpo compuesto por varias capas de materiales que experimentan un proceso de transferencia de calor transitorio, resulta relativamente fácil establecer las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la solución es extremadamente compleja, debido a que se hace necesario tratar con ecuaciones diferenciales parciales simúltaneas.

Problema Integral de balance de calor

Una placa larga de acero cuya temperatura inicial es uniforme y con valor de 550°F, experimenta una disminución súbita de su temperatura en la superficie a 100°F. Calcule el tiempo requerido para que la temperatura llegara a 200°F en un punto que se encuentra a 1 pulgada de la superficie. Además, determine la razón de calor instantáneo que se extrae de la placa por pie cuadrado en el tiempo t. La difusividad térmica y la conductividad térmica del acero son 0.45pie²/h y 25 Btu/h-pie°F, respectivamente.

Integral de balance de calor (VII)

Como puede verse, ambos coinciden completamente bien. Utilizando otros hechos conocidos, a saber, que las derivadas de orden superior de la temperatura con respecto a x son igual a cero en x = δ, se puede expander el polinomio que describe a T(x,t) para obtener resultados ligeramente diferentes. Dependiendo del orden del polinomio que se usa, los resultados pueden ser mas o menos exactos que los que se obtienen con el polinomio de segundo orden que utilizamos en esta sección.


Se pueden aplicar los resultados que se obtienen por medio de la integral de balance de calor y por medio de la solución exacta a sólidos finitos siempre y cuando el frente móvil de temperatura definido por δ no se mueva a través de todo el cuerpo. Por ejemplo, considere la pared que se muestra en la figura 4-18. Para valores de δ < L, será válida la distribución de temperatura.

Integral de balance de calor (VI)

Recordamos que nuestro objetivo en cualquier análisis de transferencia de calor es el cálculo de la distribución de temperatura y los flujos  de calor unitarios que resultan, y procedemos de la siguiente manera: Postulamos que es posible escribir T(x,t) en términos de un polinomio

T(x,t) = a(t) +  b(t)x + c(t)x² + d(t)x³ +..........

en cuya expresión, las constantes a, b, c, d, etc. pueden depender del tiempo. Es necesario eliminar las constantes conocidas según se muestra en la figura 4-17.

Integral de balance de calor (V)

Como T(δ) es igual a To, el segundo término del miembro izquierdo de la ecuación anterior desaparace.

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de balance de energía en la forma:

Esta expresión es la integral de balance de calor. dicha expresión constituye un enunciado de la conservación de energía total para el elemento finito de amplitud x= 0 a x = δ.