Ecuación de Conducción de calor Tridimensional General (III)

También, recordando la ecuación (2-2)

Para determinar la energía generada por unidad de tiempo, q se multiplica por el volumen del elemento diferencial, dando por resultado la cantidad q (dxdydz).  El cambio en la energía interna para el elemento diferencial sobre un periodo, dr, es igual a:

o bien


Sin embargo, para la ecuación (2-29) necesitamos el cambio de energía interna por unidad de tiempo. Dicho cambio se obtiene dividiendo la expresión anterior entre dr y se escribe en la forma.

Ecuación de Conducción de calor Tridimensional General (II)

Como la expansión de sólidos, debido a cambios de temperatura, es extremadamente pequeña, el último término del miembro derecho en la ecuación anterior es despreciable, y por lo tanto, no aparece en el siguiente desarrollo.

Sean:

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Ecuación de Conducción de calor Tridimensional General (I)

Después de discutir varios ejemplos específicos de conducción de calor unidimensional bajo condiciones de estado estacionario, es ahora el momento de presentar la ecuación de conducción de calor en tres dimensiones en general. Probaremos que, cuando se interpreta adecuadamente, la presentación de dicha ecuación nos dará los mismos resultados que obtuvimos en secciones anteriores.

Con el fin de deducir la ecuación de calor tridimensional general, consideremos un pequeño elemento cúbico en coordenadas cartesianas con lados dx, dy y dz paralelos a los ejes x, y, y z, respectivamente, como se ilustra en la figura 2-13. Utilizando la primera ley de la termodinámica (conservación de energía), se puede escribir, el siguiente balance de energía para el elemento:

Conductividad térmica variable

En todos los problemas que hasta aquí hemos resulto, hemos tomado la conductividad térmica del medio conductor como una constante. Sin embargo, si examinamos las figuras 1-3, 1-4, y 1-5, veremos que las conductividades térmicas cambian de acuerdo a la temperatura. En muchos casos, la diferencia es aproximadamente lineal. En consecuencia, con mucha frecuencia es posible describir la conductividad térmica mediante una ecuación de la forma

Permítanos determinar el flujo de calor en una pared plana, hecha de un material para el cual la conductividad térmica varía linealmente como función de la temperatura. Supongamos, igual que en las secciones anteriores, condiciones de estado estacionario sin fuentes de calor y partimos de la ley de Fourier.

La ecuacion anterior es la misma que la ecuación (2-4) desarrollada en la sección 2-2 para conducción en una pared plana de conductividad térmica constante bajo condiciones de estado estacionario.

Problema Cilindro sólido y largo (III)

Una linea de transmisión eléctrica hecha con cable de cobre templado de una pulgada de diámetro, lleva 70 ampers y tiene una resistencia de 0.0104 ohms por pie de longitud. En un día con aire el coeficiente convectivo de transferencia de calor entre el aire y el cable es de 20 Btu/h-pie²°F. Determine la temperatura de la superficie y en la línea central del cable. Considere un pie de longitud, y que la temperatura del aire es de 70°F.

Solución

Cilindro sólido y largo (IV)

Nos parece apropiado un último comentario relativo a los problemas de generación de calor interna unidimensional que se han discutido líneas antes. El comentario se refiere a que tanto para la esfera como para el cilindro, siempre ocurre la temperatura máxima en el centro de simetría si la fuente de calor es uniforme y si el coeficiente convectivo de transferencia de calor es constante en toda la superficie. No obstante, para la pared plana con una fuente de calor uniforme, la temperatura máxima ocurre en el plano central solamente silos coeficientes convectivos de transferencia de calor y las temperaturas ambientes son iguales para ambas caras. Si no lo son, entonces el problema se resuelve observando que el calor que se conduce a cada cara se transfiere por convección hacia el fluido en contacto con cada una de las caras mencionadas. Esto es, para la cara de la izquierda.

Cilindro sólido y largo (III)

Puede suceder  que en algunos problemas no se conozca Tw, pero en cambio q, h y T(infinito) sean conocidos. Con el fin de encontrar la solución para la distribución de temperatura en cada uno de los tres problemas planteados en esta  sección, se debe determinar Tw. Esto se hace después de observar que en el estado estacionario, todo el calor generado en el sólido se debe transmitir por convección hacia afuera al fluido que lo rodea. Si esto no fuera así, se tendría un crecimiento de la energía en el sólido, que daria por resultado un incremento de la energia interna del material que, posteriormente, requeriría un cambio de temperatura con respecto al tiempo. Esto entraría en conflicto con nuestras suposiciones de que existen condiciones de estado estacionario. En consecuencia, se puede determinar Tw para las tres geometrías que discutimos en la forma siguiente. En general, si el coeficiente de transferencia de calor, h, uniforme en toda la superficie del cuerpo.

Cilindro sólido y largo (II)

Se deja al lector el desarrollo de esta ecuación, ya que su deducción sigue los mismos pasos que la deducción de la ecuación (2-17). Se debe observar que, mientras que el área de la cáscara esférica fue 4πr² el área de la cáscara cilíndrica es 2πrL. Las dos condiciones en la frontera que se usan al resolver la ecuación (2-20) para T(r) son

Se debe observar que en r=0, la temperatura es finita. Esto es importante al evaluar las constantes de integración.

La solución a la ecuación (2-20), sujeta a citadas condiciones en la frontera, es:

En cuya expresión Tc es la temperatura máxima en el cilindro, y ocurre en el centro del mismo.

Cilindro sólido y largo (I)

El último problema que deseamos tratar en esta sección es la generación de calor uniforme en un cilindro sólido y largo, que tiene una perdida de calor despreciable en los extremos. Se supone que la conductividad térmica del material constante. La superficie exterior del cilindro se mantiene con una temperatura conocida, Tw

Igual que con los problemas de la pared plana y la esfera, en este caso es necesario, también, determinar la ecuación diferencial que describa la distribución de temperatura. Esto se consigue haciendo un balance de energía en una cáscara cilíndrica de espesor, dr. La ecuación diferencial que resulta es:

Esfera sólida (II)

Por tanto, tenemos

Puesto que se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, requerimos de dos condiciones limitrofes para obtener una solución. Una condición es:

Debido a que q es uniforme a traves de la esfera y Tw es constante sobre toda la superficie (la frontera) de la esfera, es de esperar que la distribución de temperatura sea simétrica con respecto al centro de la esfera. Los razonamientos a exponer son iguales que los que seguimos en el caso de la pared planta con generación de calor uniforme. Esto significa que nuestra segunda condición de frontera es:

Esfera sólida (I)

Permítanos, en seguida, considerar una esfera sólida con una fuente de calor distribuida uniformemente. Dicha esfera está hecha con un material que tiene conductividad constante, y su superficie a una temperatura constante Tw.

Procedemos, como en el problema anterior,  a formular la ecuación diferencial adecuada para este problema. Se puede obtener esta ecuación haciendo un balance de energía en una cáscara de espesor, dr, como se muestra en la figura 2-11. Esta forma de abordar el problema da por resultado lo siguiente:

Pared Plana (III)

De las condiciones dadas, usaremos las ecuaciones (2-14a) y (2-14d) como nuestras condiciones en la frontera. Esto significa que:

SE puede ver que Tc es la temperatura máxima en la pared.

Pared Plana (II)

Puesto que se trata de una ecuación de segundo orden, se requieren dos condiciones en la frontera para tener una solución. Debido a que q es uniforme a través del material de la pared, y ay que T = Tw en x=+L yen x = - L, esperemos que la distribución de temperatura sea simétrica con respecto al plano central de la pared. Debe notarse que éste  es el coeficiente de convectivo de transferencia de calor que se especifica para ambas superficies. Sin embargo, una vez que se conoce, el valor de Tw se hace fijo y es el Tw resultante que se usa como condición en la frontera para este problema.

De la física el problema, si prevalecen las condiciones de estado estacionario, todo el calor que se genera dentro de la pared debe transferirse con convección al fluido que la rodea. Observe que la temperatura en cada cara es Tw. Ahora, al acercarnos al plano medio de la pared, yendo desde cada una de las caras, la temperatura debe aumentar continuamente, de tal modo que se puede conducir el calor generado hacia las superficies y así se puede transferir hacia el exterior. Como consecuencia, la máxima temperatura debe ocurrir en la línea media de la pared, con la mitad del calor total generado en la pared fluyendo hacia cada cara. Matemáticamente significa que:

Las ecuaciones (2-14a), (2-14b), (2-14c), (2-14d) y (2-14e) expresan el hecho de que la distribución de temperatura es simétrica con respecto al eje y (x=0). Para encontrar los valores de las constantes incógnitas en la solucion de nuestra ecuación diferencial de segundo orden, necesitaremos dos condiciones en la frontera. Una de estas condiciones en la frontera debe expresar el valor de la temperatura en la frontera; esto es, se debr usar la ecuacion (2-14d) o (2-14e). la otra condición en la frontera debe ser, para este problema, la ecuación (2-14a), (2-14b) o (2-14c).

Pared Plana (I)

Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño a temperatura constante igual a T(infinito). Suponga que circula corriente eléctrica a través de la placa, provocando con esto una generación de calor uniforme, q, por unidad de tiempo y volumen. El coeficiente convectivo de transferencia de calor en cada cara de la placa es el mismo, dando por resultado una temperatura Tw en ambas caras.

Para encontrar la distribución de temperatura en la placa, debemos conocer la ecuación diferencial apropiada. Esto se consigue haciendo un balance de energía en una placa de espesor dx, y área transversal, A, como se muestra en la figura. La ecuación de balance de energía que nos resulta es

Problemas de Fuentes de Calor

Muchos problemas que se encuentran en transferencia de calor requieren un análisis que tome en cuenta la generación o absorción de calor dentro de un cuerpo dado. Tales tipos de problemas se encuentran en materiales a través de los cuales fluye corriente eléctrica, en reactores nucleares, en hornos de microondas, en la industria de procesamientos químicos, y en procesos de combustión. Además, se establecen esfuerzos térmicos en el concreto durante su "curado", o secado, ya que se genera calor en el proceso de curado procurando que ocurran diferencias de temperatura en la estructura.

En esta sección se considerará una pared plana,  un cilindro sólido y largo, y una esfera sólida, estando presentes fuentes de calor uniformes. La fuente de calor se llamará q y se considerara distribuida uniformemente a través del material, así como constante con respecto al tiempo. Tendrá unidades de energía/tiempo-volumen. Se supondrá, en todos los casos, que el material tiene conductividad constante, el flujo de calor es unidimensional, y existen condiciones de estado estacionario.

Radio Critico de Aislamiento (V)

En la figura 2-9 se presentan los efectos producidos al variar r2. Esto demuestra que si r1 es menor que rcr y se agrega aislante a la tubería, las pérdidas de calor crecen y llegan a un máximo en rcr y luego decrecen. Sin embargo, si r1 es mayor que rcr y se agrega aislante, la pérdida de calor decrece continuamente.

El hecho importante que debemos recordar es que, al agregar aislante pueden realmente aumentar las pérdidas de calor. En algunos casos, este hecho nos lleva al uso de cubiertas delgadas de aislante para proteger a la gente contra choques eléctricos cuando fluye corriente de algo voltaje, o contra quemaduras cuando las tuberías llevan vapor,  ya que el aislante adicional es costoso desde un punto de vista de costo de materiales y nos lleva a pérdidas adicionales de energía. Recuerde, sin embargo, que la temperatura de la superficie seguirá disminuyendo al aumentar el grueso de la capa aislante.

Si se consideran conductores eléctricos, es posible concebir un caso donde la presencia del aislante no sólo protege a la gente contra toques eléctricos, sino que además enfría al conductor. Es bien conocido que, al decrecer la temperatura de un conductor eléctrico, éste tiene una resistencia menor y las pérdidas I2R decrecerán, dando por resultado un transporte más eficiente de la energía eléctrica. Para un conductor de sección transversal circular, surge dicha situación cuando el radio del conductor es menor que el radio crítico.

Problema Radio Critico de Aislamiento

A través de una tubería de 3 pulgadas de diámetro exterior circula vapor húmedo a 325°F, la tubería esta aislada con asbesto. El coeficiente convectivo de transferencia de calor entre la superficie exterior del asbesto y el aire que lo rodea a 70°F es igual a 0.5 Btu/h-pie²°F. Determine el radio critico de aislamiento Dado este valor de r2, calcule la pérdida de calor por pie en la tubería, y la temperatura de la superficie exterior.

Solución

Comentarios:
Se debe notar, de la parte (2), que para valores r2 diferentes rcr, los valores de Q/L serán menores. Los resultados de la parte (3) muestran que se debería agregar más aislante para evitar perjuicios humanos. Puesto que más aislante también reduce de valor a Q/L, se desperdiciará menos energía durante la operación de la tubería de vapor, y el único costo extra será el de la inversión inicial en el aislante.

Radio Critico de Aislamiento (IV)

Para determinar el valor de r2 para el cual Q es máximo, encontramos el valor de r2 para el cual (dQ/dr2) = 0. Entonces, substituyendo este valor de r2 en (d²Q/dr2²), estamos capacitados para verificar si hemos encontrado las condiciones para un máximo.

Radio Critico de Aislamiento (III)

Sin embargo, ya que Rconv es igual a (1/h2πr2L), la resistencia convectiva decrecerá al crecer r2. Es posible que Rconv pueda decrecer más rapido de lo que Rins crece, provocando un incremento en Q, como indica la ecuacion (2-12a). También sabemos que si se agregara una cantidad infinita de aislante, Q tenderia a cero, lo cual lleva a la conclusión de que puede haber un valor de r2 para el cual Q es máximo.  Este valor o r2 se conoce como rcr, el radio critico de aislamiento.

Procedemos de la siguiente manera para determinar el radio critico de aislamiento. El calor total que se pierde de la tuberia aislada se calcula según:

Radio Critico de Aislamiento (II)

La figura de abajo nos muestra un análogo eléctrico que se construye para este problema simplificado.

Observe que a través de todos y cada uno de los resistores de la figura de arriba fluye la misma cantidad de calor, de tal modo que se puede determinar Q, dividiendo la diferencia de temperatura a través de cualquiera de los resistores, o cualquier conjunto de ellos, entre las resistencias apropiadas, es decir.

Radio Critico de Aislamiento (I)

Suponga que se tiene una tubería de vapor que deseamos aislar para evitar la pérdida de energía y proteger a la gente contra las quemaduras. Si el vapor no está sobrecalentando, se condensará algo de vapor en el interior de la tubería. Toda la superficie interior de la tubería estará a una temperatura constante, Tt, int, aproximadamente igual a la temperatura de saturación, Tsat, que corresponde a la presión del vapor, ya que la resistencia convectiva bajo dichas condiciones es demasiado pequeña y por tanto despreciable. Tenemos

es posible concluir que R tuberia es demasiado pequeño y por tanto despreciable cuando k2 es grande y ln(r2/r1) es pequeño. En consecuencia, la caida de temperatura a través de la pared de la tubería será muy pequeña. De hecho, se considerará despreciable a dicha caída y se tomará a  la temperatura en la superficie interior del aislante como Tsat.

Problema 2 Conducción de calor unidimensional en estado estacionario

Se construye un tejado plano, con medidas 12,5 m por 22 m, hecho de cubierta de acero de 3mm (k=52W/m.K), 38 mm de aislante de poliestireno rigido (k=0.035 W/m.K), y 9 mm de capa de asfalto para techos (k=0.17 W/m.K). Los coeficientes convectivos de transferencia de calor en el exterior y en el interior son 34 W/m².K y 11 W/m², respectivamente. La temperatura del aire en el interior es de 21°C; y la temperatura de aire exterior es de -1°C. Sobre el tejado incide energía radiante del sol a razón de 785W/m², y el tejado actúa como un cuerpo negro. Cuál es la razón de transferencia de calor que pasa a través del tejado? Suponga que la temperatura del espacio es de -20°C.

Solución.

Síntesis de Resistencias Termicas

En el capitulo 1 se presentó el concepto de resistencia térmica. En la tabla 2-1, se integra una síntesis de las resistencias térmicas  para las tres geometrías que se han discutido en este capítulo.

El siguiente problema muestra incluye consideraciones simultáneas de conducción, convicción, radiación, y energía radiante que incide del sol.

Conducción radial en un cilindro hueco y largo en condiciones de estado estacionario (III)

En el material que se ha presentado hasta esta parte del capitulo, se ha tratado con conducción de calor en estado estacionario a través de una pared plana, una esfera hueca y un cilindro hueco. En el primer caso, el área disponible para la conducción de calor fue constante al cambiar la posición a lo largo de la coordenada x, y dio por resultado la distribución de temperatura lineal. En los otros dos casos, el área aumento mientras cambiamos la posición a lo largo de la coordenada radial, llevándonos esto a distribuciones de temperatura no lineales.

Ahora, permitamonos considerar la conducción de calor, en estado estacionario, para situaciones como la que se muestra en la figura de abajo, en donde se representa un cono truncado y una barra larga, doblada en forma de L. En el caso del cono truncado, con  su superficie lateral aislada, la conducción de calor es esencialmente en la dirección x, y se puede tratar como unidimensional especialmente si (r2-r1) es mucho menor que L. Para analizar este problema, deberíamos comenzar con las ecuaciones (2-1) y (2-2) y obsevar que A en la ecuación (2-1), para este problema, es igual a πr², donde r esta en función de X, r1, r2 y L.

En el caso de la barra larga, en forma de L, ya que sus superficies laterales están aisladas, el flujo de calor será a lo largo del eje de la barra. Aun cuando el flujo de calor en la posición del codo de la barra es bidimensional, podemos ignorarlo si nuestro interés principal es la determinación del flujo de calor, Q, a través de la longitud de la barra. Sacrificando un poco la exactitud, es posible expresar el flujo de calor como KA(T1 - T2)/L, donde A es el área de la sección transversal de la barra, y L es la longitud total de la misma barra.

Conducción radial en un cilindro hueco y largo en condiciones de estado estacionario (II)

En las secciones anteriores, calculamos distribuciones de temperatura y razones de flujo de calor en estado estacionario para una pared plana, una esfera hueca, y un cilindro hueco largo. Se tomaron dos formas de abordar los problemas y obtener los resultados deseados. Dichas formas son:

1) Usando un pequeño elemento de volumen, se hizo un balance de energía con el fin de determinar la ecuación diferencial que describe a la temperatura como función de la posición. Se resolvió dicha ecuación diferencial y se usaron las condiciones en la frontera para evaluar las constantes que aparecen en la solución. Entonces se aplicó la ley de Fourier de conducción de calor para encontrar la razón de flujo de calor.

2) Se determinó la razón de flujo de calor directamente al integrar la ecuación de Fourier suponiendo conductividad constante, y flujo de calor en estado estacionario, unidimensional. En seguida se observó que la razón de transferencia de calor es la misma en una sección transversal cualquiera, de modo que la relación entre transferencia de calor y diferencia de temperatura, se puede aplicar en cualquier porción del cuerpo total. Aplicando esta relación tanto a una parte del cuerpo, como al cuerpo total, se elimina la cantidad Q, y se obtiene la distribución de temperatura.

Problema Conduccion radial en un cilindro hueco y largo en condiciones de estado estacionario

Con frecuencia, para determinar la conductividad térmica de los gases se usa un tubo hueco con un alambre que se calienta y se encuentra concéntrico con las paredes del tubo.  En esencia, el gas que se encuentra entre el alambre y la pared es un cilindro hueco y la corriente eléctrica que transita a lo largo del alambre actúa como fuente de calor. Usando los datos que se proporcionan en seguida, determine la conductividad térmica del gas que se encuentra en la celda.

Solución:

Conduccion radial en un cilindro hueco y largo en condiciones de estado estacionario

En la figura de abajo se muestra un cilindro hueco y largo, que puede analizarse en forma semejante a la de una esfera hueca. Usualmente, un tubo de vapor se puede modelar como un cilindro hueco y largo.