Transferencia de Calor

La cantidad (Tw - Tb)promedio que aparece en la ecuación anterior es la diferencia promedio entre la temperatura de la pared y la temperatura en bulto, a lo largo de la longitud L del tubo. El propósito de la solución al problema de la transferencia de calor, de flujo a través de un tubo con flujo de calor unitario uniforme en la pared, consiste en relacionar estas dos temperaturas a través de la definición del coeficiente de transferencia de calor. Los datos de la tabla 8-2 nos permiten exactamente esto, pero en una base local. Por ejemplo, con un valor específico de x, se puede calcular x*, leer el valor de Nu en la tabla 8-2, y calcular h y Nu según

Observe que cuando x* se hace muy grande, el valor del número de Nusselt tiende al valor que se obtiene para flujo completamente desarrollado. En general, el coeficiente de transferencia de calor promedio, hpromedio, para flujo a través de un tubo cuya longitud es L, se define según

Fisicamente, el número de Prandtl es una medida de que tan rápidamente se disipa el momento, comparado con la razón de difusión de calor a través del fluido. La mayoría de los gases tienen un número de Prandtl el orden de la unidad. Enparticular, el número de Prandtl para el para el airea la presión atmosférica tiene un valor que se encuentra en el rango de 0.718 a 0.690, correspondiente a un rango de temperatura de 0°F a 1000 °F. El agua líquida saturada, tiene un número de Prandtl de 13.35 a 32°F, que cae hasta 1.00 a 400°F. El valor del número de Prandtl para aceite frescode motor es 10 400. Los metales líquidos, debido a sus grandes conductividades térmicas, tienen número de Prandtl del orden de 10^-2. La tabla 8-2 resume los valores del número local de Nusselt, Nu, para un flujo de calor unitario sobre la pared, para la región de entrada térmica. Dichos valores se tabulan como función de la coordenada sin dimensiones, x*, que se define según la expresión.

En la sección anterior, supusimos que los perfiles de temperatura y de velocidad están completamente desarrollados. Por otra parte, en el capítulo 7 vimos que se requiere cierta distancia, llamada longitud de entrada, Le, para que se desarrolle el perfil de velocidad. Similarmente, cuando un fluido con temperatura uniforme entra a un tubo que recibe un flujo de calor unitario uniforme, qw, en su pared, se requiere de una longitud  de desarrollo, antes de que el perfil de temperatura, ecuación (8-11), quede establecido. A esta distancia se le llama longitud de entrada térmica. El valor del número de Nusselt, dado por la ecuación (8-13) es aplicable en los puntos que se encuentran más allá de la longitud de entrada térmica. Los tubos en un intercambiador de calor se operan con mucha frecuencia bajo condiciones en que los efectos de entrada se deberían reflejar en el valor del número de Nusselt que se usa. En problemas de longitud de entrada térmica, el número de Nusselt no depende tan

Shah y Landon (referencia 45) han compilado la literatura mundial acerca de convección forzada para flujo laminar en ductos. Algunas formas de ductos que se incluyen en su trabajo son circulares, rectangular, triangular, eliptica, cuadrilateral, de media luna, circular concéntrica, circular excéntricos y de cardioides. Ambos han reportado los resultados de transferencia de calor acerca de una gran variedad  de condiciones en la frontera, tales como de temperaturas uniformes en la pared y en el eje, temperatura axial uniforme  con resistencia térmica finita en la pared. Flujo de calor unitario y temperatura uniformes en la pared, flujo de calor unitario radiante no lineal en la pared y diferencia de temperatura en bulto, axial, pared a fluido, constante. Su compilación incluye el desarrollo y los fluidos desarrollados en ductos. La tabla 8-1 (referencia 45) nos proporciona un resumen de los resultados acerca de transferencia de calor y factor de fricción para un flujo completamente de

La solución a este problema incluye una aplicación directa del material de  la sección 8-3. La velocidad promedio en la sección transversal del tubo está dada por

Fluye agua en un tubo cuyo D.I. es de 3/4 de pulgada, a una razón de 0.4 galones por minuto. Si dicho tubo recibe un flujo de calor unitario uniforme de 400 Btu/h-pie² en la pared, determine: 1) la diferencia de temperatura pared a linea central, 2) la temperatura en bulto, 3) la razón con que cambia la temperatura de una sección a otra y 4) el coeficiente de transferencia de calor. Para el agua,

Siegel y coloboradores (referencia 44) resolvieron este problema directamente, mientras que Sellars y colaboradores (referencia 2) usaron una solución indirecta. El trabajo de estos investigadores coincide con el resultado anterior. El número  de Nusselt es independiente de Re, que es tipico de transferencia de calor laminar conpletamente desarrollado, en ductos. Además, el número de Nusselt, en este caso, es independiente de la coordenada x. En general, cuando el número de Nusselt es independiente de la coordenada axial, esto corresponde a una condición témicamente desarrollada . Cerca de la entrada de un tubo, donde el coeficiente de transferencia de calor varia con las x, tiene lugar el desarrollo térmico. El valor del número de Nusselt  para el caso de la temperatura constante de la pared del tubo es 3.568 (referencia 1) 16 por 100 menos que la solución para el caso donde la pared del tubo recibe un flujo de calor constante.

El número de Nusselt para el problema presente es (hD/k), donde D es el diámetro interior del tubo. Como ya se observó, el coeficiente de transferencia de calor para flujo en un tubo, se basa usualmente en la diferencia de temperatura pared-a-bulto, (Tw-Tb) Escribiendo qw = h(Tw - Tb), se sigue de la ecuación (8-8) que

Observamos que el primer término que aparece en el miembro de la derecha es To, ya que la temperatura, To, en la línea central del tubo no depende del radio, r. Para poder integrar el segundo término del miembro de la derecha, substituimos u dado en la ecuación (7-14a), para obtener:

Observe que To que aparece en la ecuación (8-9) es aún desconocida y así y permanecerá, debido a que la condición en la frontera de flujo de calor unitario constante prescribe el gradiente de temperatura. Por lo tanto, se puede obtener la solución final, salvo por un término constante. La condición en la frontera de flujo de calor unitario se usa en la referencia 1 para probar que (∂T/∂x) es constante, según se establece en la ecuación (8-8a). Ahora procedemos a resolver para (∂T/∂x) en términos del flujo de calor unitario, qw. Esto se hace derivando en primer lugar la ecuación (8-9) con respecto a r y resolviendo para (∂T/∂x)r=rw . Así

Una vez separando variables e integrando, obtenemos donde C2 es otra constante de integración. En r = 0, la temperatura del fluido debe ser una cantidad finita. Ya que el ln(r) tiende a menos infinito cuando r tiende a cero, C1 también debe ser cero. Si ahora substituimos r=0, la solución anterior para T indica que C2 es igual a la temperatura To, en la línea central del tubo. Así, la solución se transforma en

Asi hemos probado que h  es constante para un flujo de calor unitario uniforme en la pared y para una conductividad termica constante del fluido. De acuerdo a este resultado, y

Ya que el fluido recibe un flujo de calor unitario uniforme, qw, es lógico esperar que su temperatura en bulto crezca linealmente a lo largo de la dirección del flujo de fluido. Esto es, (dTb/dx) es una cantidad constante. Quedó establecido en la sección 8-3.2 que la condición para un perfil de temperatura completamente desarrollado es:

La ecuación (8-7) es la ecuación diferencial que gobierna el proceso y que se obtiene del principio de conservación de la energía para flujo completamente desarrollado a través de un tubo circular. La condición en la frontera para el problema presente consiste en que, la pared del tubo (r=rw), el flujo de calor unitario que pasa radialmente hacia el interior y que se designa por qw, es igual a la razón de conducción de calor en el fluido. Esto se puede plantear como:

Como se observo al principio, el fluido entra al volumen de control tan sólo en la dirección axial, ya que la componente radial de la velocidad es cero para flujo completamente desarrollado. La razón de flujo de masa hacia dentro del volumen de control es:

La razón con que la energía se transfiere por convección o se lleva hacia dentro del volumen de control se puede expresar en términos de la razón de flujo de masa del fluido que entra al volumen de control, y la energía asociada con dicha razón de flujo de masa. La energía asociada con una masa unitaria de fluido consta de su energía interna, energía cinética, y energía potencial. Para velocidades moderadas y para cambios pequeños en la elevación, se pueden ignorar las contribuciones de la energía cinética y la energía potencial, y tomar en cuenta tan sólo la energía interna. Además el fluido que entra al volumen de control hace trabajo sobre el volumen de control. A dicho trabajo se el conoce como el trabajo de flujo. Para un flujo de masa unitaria, dicho trabajo es igual al producto de la presión de fluido, p, y el volumen específico v, del fluido; tanto p como v se evalúan en los puntos de entrada o de salida. Para un flujo hacia dentro de la energía asociada con el trabajo del fl

Observando que el trabajo de eje de salida es cero, designaremos el miembro izquierdo de la ecuación anterior por Qcond, net entrada y el miembro derecho por Qconv, net salida. La razón con que se conduce calor calor hacia dentro del volumen de control en la dirección radial a través de la cara circunferencial ABCD está dada por

El principio de conservación de energía requiere que bajo condiciones de estado estacionario, el calor neto que se conduce hacia dentro del volumen de control desde las direcciones radial y axial, debe ser igual al calor neto que se transfiere por convección alejandolo en dirección x. No existe convección en la dirección r en este problema. Debido a que la velocidad es axial puramente. Para condiciones de flujo estacionario, podemos escribir la siguiente ecuación para conservacion de energía aplicada al volumen de control ABCD-A1B1C1D1.

Ahora intentamos determinar la distribución de temperatura en un fluido que fluye a través de un tubo. La expresión resultante se usará para encontrar el coeficiente convectivo de transferencia de calor y la temperatura en bulto. Considere un volumen de control en forma de cáscara cilíndrica de radio r, espesor dr, y longitud dx, como se muestra en la figura 8-2c.

Permitanos considerar un fluido que se encuentra a una temperatura uniforme Te, que entra a un tubo cuya pared recibe un flujo de calor unitario uniforme qw. Cuando el fludio se mueve  a través del tubo, su temperatura en bulto, Tb, aumenta y el perfil de temperatura del fluido sufre un cambio, como se muestra en la figura 8-2a. Despues de alcanzar cierta distancia en la entrada, la forma d ela curva de temperatura no cambia y se dice que se ha establecido un perfil de temperatura completamente desarrollado. A esta distancia se le llama longitud de entrada térmica. Un perfil de temperatura completamente desarrollado no significa que la temperatura del fluido para un valor dado de la coordenada radial no cambie al movernos corriente abajao. De hecho, dicha temperatura crece linealmente, ya que el fluido esta recibiendo un flujo de calor unitario uniforme, qw. Para distancias mayores que la longitud de entrada térmica, la diferencia entre la Temperatura Tw del fluido en la pared del tu

La capacidad calorífica de un fluido es el producto de su calor específico (a presión constante) y su masa. Por lo tanto, la capacidad calorífica de un fluido que cruza a través de una pequeña área elemental por unidad de tiempo es (cp) (ρu) (2πdr). Integrando sobre una sección transversal del tubo, tenemos la siguiente expresion para la capacidad calorífica de un fluido que cruza una sección de un tubo en una unidad de tiempo.

Recuerde que la ecuación (8-1) involucra la temperatura T∞, del fluido suficientemente alejado de la frontera sólida para no ser afectado por la temperatura del sólido. En el caso de flujo a través de ductos, resulta más conveniente utilizar la temperatura en bulto, Tb. La temperatura en bulto, Tb, es la temperatura promedio del fluido en la sección transversal dada del tubo. Si se fuera a coleccionar en una taza, durante un breve periodo de tiempo, el fluido que se encuentra en una sección transversal y se mezclara completamente, sin permitir que intercambie energía con los alrededores, la temperatura resultaten del fluido seria la temperatura en bulto. Dicha temperatura se llama también temperatura de mezcla en una taza o temperatura media de mezclado. En geenral, dicha temperatura varia de una sección transversal de tubo, a otra. Se puede expresar como:

En un problema típico de transferencia de calor por convección para flujo a través de un tubo, estamos interesados en determinar el coeficiente de transferencia de calor, h, a lo largo de la pared del tubo. La ecuación (8-3) nos dice que esto se puede lograr sí es posible determinar la distribución de temperatura en el fluido que está fluyendo. Esto necesita de la aplicación del principio de conservación de la energía, para obtener una ecuación diferencial apropiada que gobierne el proceso. Cuando se resuelva esta ecuación, sujeta a condiciones en la frontera adecuadas al problema, obtendremos la distribución de temperatura dentro del fluido y, en particular, el gradiente de temperatura de la pared. Una posible condición término en la frontera para el problema presente, puede ser la de que la pared del tubo recibe un flujo de calor unitario uniforme. Dicha condición surge en calentamientos por radiación, calentamientos por medio de resistencia eléctricas y en itercambiadores de ca

Considere flujo laminar en un fluido a través de un tubo de radio interno rw Supondremos que el flujo es completamente desarrollado y que la distribución de velocidades está dada por la ecuación (7-14a), que se repite en este punto por conveniencia.

La cantidad (hLc/k) que aparece en la ecuación anterior es una cantidad sin dimensiones, que recibe el nombre de número de Nusselt. El número de Nusselt es el gradiente de temperatura sin dimensiones para el fluido, evaluado en la interface pared-fluido. La estructura del número de Nusselt es similar a la del número de Biot, que encontramos al principio del capitulo 4. La diferencia importante es que la k que aparece en el número de Nusselt es la conductividad térmica del fluido, mientras que en el número de Biot, dicha letra representa la conductividad del sólido. Es costumbre expresa las correlaciones para transferencia de calor por convección forzada, anlíticas o experimentales, en términos de cantidades sin dimensiones tales como el número de Nusselt y el número de Reynolds. En las secciones siguientes, analizaremos la transferencia de calor para flujo laminar en el tubo circular y en la capa frontera sobre una placa plana. Los resultados que se obtuvieron en el capítulo 7 par

En el estudio de transferencia de calor por convicción, estamos interesados en determinar la razón de transferencia de calor entre una superficie sólida y un fluido adyacente, siempre que exista  una diferencia de temperatura. Considere un fluido que fluye sobre un cuerpo. Si la temperatura de la superficie Tw y la temperatura del vapor es T∞, la temperatura del fluido cercano a la frontera sólida variará de alguna forma como la que se ilustra en la figura 8-1.

El coeficiente convectivo de transferencia de calor, h, que aparece en la ecuación anterior representa el valor local. A diferencia de la conductividad térmica de un material, el coeficiente convectivo de transferencia de calor no es una propiedad. Su magnitud cambiará de un problema a otro, a un cuando pueden estar involucrados el mismo sólido y el mismo fluido en ambos problemas. El valor del coeficiente de transferencia de calor depende de una variedad de factores, tales como velocidad, densidad, viscosidad, conductividad térmica,  y calor específico del fluido; geometría de la superficie; presencia de fuerzas de flotamiento; etc. Dicha dependencia tan amplia, hace dificil llegar a una expresión analítica para el coeficiente de transferencia de calor. Existen unos cuantos casos sencillos que permiten llegar a una solución analítica. Sin embargo, para la gran mayoria en la determinación experimental del coeficiente de transferencia de calor, empleando análisis dimensional. Más adela

En 1701, más de 100 años antes que Fourier formulara la ley básica de conducción, Sir Isaac Newton propuso la siguiente ecuación para predecir la razón de transferencia de calor por convección, Q, de una superficie sólida hacia el fluido que lo rodea.