Transferencia de Calor

Una vez más, se encuentra de la ecuación anterior que si el coeficiente de T i,j ^n es negativo, existe la posibilidad de que se violen las leyes de la termodinámica, dando por resultado inestabilidad de la solución. Por lo tanto, se requiere que para que la solución numérica sea estable, el coeficiente T i,j ^n debe ser positivo. Entonces, una condición sencilla para la estabilidad de una solución numérica para un problema transitorio bidimensional con Δx = Δy es que

La expresión (5-50) y el miembro izquierdo de la ecuación (5-23) deben ser iguales para satisfacer la ley de conservación de la energía en un nodo interno Por lo tanto.

Una vez más, la base par ala formulación de las ecuaciones nodales es el principio de la energía. En la sección 5-4, la razón de energía neta que llega a un nodo interno, o frontera, se hizo igual a cero. Ahora,  a dicha razón de energía neta la hacemos igual a la razón de cambio de energía interna del elemento, esto es

Tanto la alerta rectangular como la placa de amplitud finita, L, fueron problemas transitorios unidimensionales. Las distribuciones de temperatura transitoria en sistemas bidimensionales tales como los cuerpos simétricos con respecto a un eje, o placas rectangulares resulta ser importantes por dos razones principales. Primera, dichos sistemas determinan el periodo de sobrecalentamiento - por ejemplo, el tiempo de residencia de una varilla métalica dentro de un horno antes de colocarla en un molino. Segunda, durante el estado no estacionario, dentro del cuerpo con frecuencia se crean grandes esfuerzos térmicos y la distribución de esfuerzo transitorio resulta ser de una particular importancia desde un punto de vista estructural. Algunas veces los caracteres transitorios surgen debido a la naturaleza de dependencia del tiempo de las condiciones en la frontera, como en el caso del retorno a la tierra de un vehículo espacial.

El miembro izquierdo representa el cambio de energía interna provocado por el flujo de calor asociado a los gradientes de temperatura "presentes" en el tiempo τ, según aparecen escritos en el miembro derecho. Es igualmente posible que el cambio en la energia interna se deba al flujo de calor asociado con los gradientes de temperatura en el tiempo (τ + Δτ), dando lugar a la ecuación siguiente: La ecuación anterior contiene solamente una temperatura en el tiempo τ, esto es, Ti^n, mientras que todos los demás términos contienen temperaturas en el tiempo (τ + Δτ). Por lo tanto, las temperaturas en (τ + Δτ) no pueden resolverse explicitamente; en lugar de esto, se deben resolver las ecuaciones para todos los nodos simultáneamente, después de establecer las ecuaciones para los nodos internos y frontera. Dicha formulación implícita es estable independientemente del valor del incremento del tiempo, Δτ, que se elija. Un valor excesivamente grande de Δτ provocará grandes errores ...

El requisito de que se debe restringir el tamaño de Δτ para asegurar la estabilidad nos trae como consecuencia que algunas veces el incremento de tiempo debe ser muy pequeño, del orden de una fracción de segundo, especialmente cuando se involucra conducción transitoria en capas múltiples. La formulación implícita elimina esta restricción, pero involucra la solución de ecuaciones simúltaneas en cada incremento de tiempo de tiempo. Considere la ecuación (5-40), que reproducimos en seguida.

Se calcula que el incremento Δτ, consistente con el criterio e estabilidad, tiene un valor de 74.8 segundos. La computadora entrega las temperaturas en la pared durante un intervalo de 29.94 minutos, cuyo valor se redondea a 30 minutos en la figura 5-17. El resultado nos muestra tambien el número de pasos de computación que se requieren para cada línea en el resultado. La figura 5-17 nos muestra la historia tiempo-temperatura de la placa. Resulta claro de la figura que, aun cuando toma tres horas y 42 minutos alcanzar el estado estacionario según se definio con anterioridad, ocurre un pequeño cambio en la temperatura después de los primeros 90 minutos.

Los pasos siguientes constituyen un bosquejo de las principales operaciones en el programa de la computadora. Leer las propiedades físicas, y las condiciones iniciales y en la frontera, e imprimirlas. Calcular Δx, α, y Δτ Con Δτ  como incremento de tiempo, calcular el número de incrementos de tiempo, N, en 30 minutos. Calcular Ti^n para N incrementos y guardar los Ti^ns. Calcular el calor que se conduce a través de la pared y el calor que se transfiere por convección de la superficie derecha. Si las dos se encuentran dentro de un rango de uno por ciento, ir al paso (6). En caso contrario ir al paso Entregar los valores de la temperatura y de la pérdida de calor y parar. En seguida se dan el programa de computadora y las salidas.

En el problema se incluye conducción de calor unidimensional no estacionario. El método para resolver el problema es el mismo que el que tratamos en la sección 5-7.1. Inicialmente, la pared de ladrillo tiene una temperatura de 20°C. Correspondiendo a esta condición en τ = 0, el valor del indice superior n en Ti^n se designa como uno. Así que SE calcularán las temperaturas para intervalos sucesivos hasta que se alcanza el estado estacionario. En estado estacionario, el calor que se conduce a través de la pared, Qcond, es igual al calor que se transfiere por convección de la cara derecha, Qconv. Si estas dos cantidades se encuentran dentro de un rango de uno por ciento una de la otra, para fines prácticos, se consigue el estado estacionario.

Una pared larga de ladrillo, con espesor de 10 cm, se encuentra a una temperatura inicial de 20°C. Tiene una conductividad térmica de 0.5 W/m.K, una densidad de 1800kg/m³, y un calor específico de 840J/kg.K. En el tiempo τ = 0, la temperatura de la cara izquierda se eleva hasta 200°C mientras que la cara derecha se expone al aire cuya temperatura es de 40°C. El coeficiente convectivo de transferencia de calor en la cara derecha es de 50W/m²K. Escriba un programa de computadora para calcular la distribución de temperatura en la pared como función del tiempo. Estime el tiempo requerido para conseguir el estado estacionario. Solución: Datos: Se da una pared larga de ladrillo