jueves, 31 de julio de 2014

Ecuación de momento (I)

En seguida aplicamos el principio de conservación de momento para la dirección de las x, ecuación (7-8). Se repite aquí por conveniencia.


Las fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control se deben a las posciones y al esfuerzo cortante viscoso en el fluido. Las fuerzas de presión en la dirección x se ejercen sobre las caras ABCD y A'B'C'D. La fuerza de presión en la cara ABCD es

miércoles, 30 de julio de 2014

Ecuación de continuidad (II)

Ya que no están presentes fuentes o sumideros de fluido, la razón con la cual el fluido llega al interior del volumen de control, debe ser igual a la razón con la que el fluido parte del volumen  de control, para mantener el estado estacionario. Por lo tanto.


martes, 29 de julio de 2014

Ecuación de continuidad (I)

Ahora procedemos a aplicar el principio de conservación de masa al volumen de control elemental. Suponemos que el fluido fluye hacia adentro del volumen de control a través de las caras ABCD, DCC'D' y BCC'B' a lo largo de las direcciones positivas de las x, y y z, respectivamente, y va hacia fuera a través de las caras restantes. La razón de flujo hacia dentro está dada por el producto de la densidad, la velocidad normal al área y el área a través de lo cual fluye el fluido. Así, si las componentes de la velocidad en las direcciones x,  y y z, se representa mediante u, v y w, tenemos

lunes, 28 de julio de 2014

Análisis diferencial de la capa frontera laminar

En el análisis integral, consideramos un volumen de control que recurre todo el espesor de la capa frontera. En el análisis diferencial se considera un volumen de control elemental cuyas dimensiones son dx por dy por dz, situado dentro de la capa frontera, según se muestra en la figura 7-7. Ahora presentamos un análisis difrencial aproximado de capas frontera laminares. Una vez más, suponemos que el fluido tiene propiedades físicas y términos constantes; que la dirección principal del flujo ocurre a lo largo del eje x, con u∞ como velocidad de corriente libre; y que el flujo es bidimensional. El objetivo del análisis es el mismo que antes, esto es, determinar la distribución de velocidad dentro de al capa frontera y el esfuerzo cortante de la pared.

domingo, 27 de julio de 2014

Problema Análisis integral de la capa frontera laminar (III)

Análisis:

Para que el flujo  sobre la placa sea laminar, la longitud crítica para el flujo tiene que se rmayor que la longitud de la placa.


sábado, 26 de julio de 2014

Problema Análisis integral de la capa frontera laminar (II)

La fuerza F necesaria para mantener a la placa en la corriente del aire es igual al esfuerzo cortante promedio sobre la placa, multiplicado por el área de la placa.


viernes, 25 de julio de 2014

Problema Análisis integral de la capa frontera laminar (I)

El aire fluye sobre una placa delgada con una velocidad de 2.5 m/s. La placa tiene un metro de largo y 1 metro de ancho. Estime el espesor de la capa frontera en el lado del arrastre de la placa y la fuerza necesaria para mantener a la placa en la corriente del aire. El aire tiene una viscosidad de 0.86x10^-5N.s/m² y una densidad de 1.12 Kg/m³.

Solución



jueves, 24 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (XVI)

Las ecuaciones (7-32) y (7-34) nos proporcionan expresiones para el corte local de pared y el coeficiente local de arrastre. Si la placa completa tiene una capa frontera laminar sobre ella, el corte de pared promedio, τw, promedio, y el coeficiente de arrastre promedio, Cf, promedio, se pueden determinar de la siguiente manera. Ambos se definen de acuerdo a las expresiones.

miércoles, 23 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (XV)

La ecuación (7-32) expresa el esfuerzo cortante local, τw, en términos de la velocidad principal, [(1/2gc)(ρu²∞)], y el número local de Reynolds, Rex. Ahora podemos introducir el coeficiente local de arrastre, Cf, llamado también coeficiente de fricción superficial. Dicho coeficiente se define como:

en cuya expresión Rex es el número de Reynolds basado en la distancia x al lado principal. La expresión anterior coincide muy bien con la expresión exacta, que tiene una constante númerica de 0.664 en lugar de 0646.

martes, 22 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (XIV)

Debe observarse que la solución exacta al problema que aquí se presente, da un valor de 5.0* para la constante numérica que aparece en la ecuación (7-31a). Cuando se plantea la ecuación (7-31a) en forma sin dimensiones, se transforma en


lunes, 21 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (XIII)

Ahora podemos determinar una expresión para el esfuerzo cortante de la pared en la ecuación (7-27), empleando la ecuación (7-29). Según la definición de τ [ecuación (7-2)]



domingo, 20 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (XII)

Si substituimos las cuatro condiciones anteriores en la ecuación (7-28), obtenemos cuatro ecuaciones simultáneas, respectivamente


sábado, 19 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (XI)

A la ecuación (7-26) se le conoce como la ecuación integral de momento. Si la corriente libre no tiene gradientes de presión, entonces tiene una velocidad constante y uniforme y la cantidad (du∞/dx) es idénticamente cero. En consecuencia, el primer término que aparece dentro de las llaves del miembro derecho de la ecuación (7-26) desaparece. Además, para un fluido incompresible, la densidad, ρ, es una cantidad constante. Por lo tanto, la ecuación (7-26) se simplifica a

para un fluido incompresible con velocidad de corriente libre constantes.

Hasta este punto, hemos efectuado los dos primeros pasos que se bosquejan al principio de  esta sección. En seguida suponemos la existencia de un polinomio de tercer grado en la variable y, que representa el perfil de velocidad sea.


viernes, 18 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (X)

Con el fin de simplificar la ecuación anterior, diferenciamos la ecuación de Bernoulli, ecuación (7-23), para obtener.



jueves, 17 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (IX)

La razón de flujo de masa que parte del volumen de control a través de AD está dada por la ecuación (7-22). Dicha razón de flujo de masa posee una velocidad en la dirección de las x, que es u∞. Por lo tanto, el momento en la dirección de las x, que parte del volumen de control a través de AD está dado por


miércoles, 16 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (VIII)

El signo negativo que aparece en la ecuación anterior se debe al hecho de que el esfuerzo cortante viscoso se opone al movimiento  del fluido y actúa en la dirección x. Entonces, subsistituyendo las diferentes expresiones para las fuerzas en el miembro izquierdo en la ecuación de momento, simplificando, e intercambiando el orden de diferenciación e integración, obtenemos.

El miembro de la derecha en la ecuación de momento consta de tres términos de momento. Dichos términos son el momento en la dirección de las x que entran  al volumen de control a través de AB y los momentos de las que salen del volumen de control a través de CD y AD. La razón de momento en la dirección de las x que entran a través de una tira de dimensión (dy.l) en la cara AB es


martes, 15 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (VII)

Ahora consideramos la fuerza sobre la cara CD debida a presión externa. Refiriéndonos a la figura 7-6, vemos que esta fuerza de presión, actuando normal a CD, está en la dirección negativa de las x. ESta fuerza de presión se puede expresar en términos de Fx,AB y su derivada como
Si representamos el esfuerzo cortante contra la pared actuando a lo largo de BC por Tw, podemos escribir

lunes, 14 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (VI)

Las fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control en la dirección x son las fuerzas de presión en las caras AB y CD y el esfuerzo cortante sobre la pared en la cara BC. No existe fuerza cortante en AD ya que la componente de la velocidad en la dirección x, en cualquier punto de AD no cambia, debido a un cambio en la coordenada y, y (∂u/∂y)AD es cero idealmente. No se espera que la presión, p, varie a través de la capa frontera, de modo que su valor para cualquier coordenada x queda determinada por las condiciones de corriente libre vía la ecuación de Bernoulli, que es.
en cuya expresión, z es la elevación.

La ecuación de Bernoulli expresa el hecho de que para un flujo de fluido ideal, la suma del trabajo del flujo (p/ρ), la energía cinética (u²∞/2gc), y la energía potencial (g/gc)z, es constante bajo condiciones de estado estacionario.

La fuerza de presión en la cara AB se obtiene integrando la fuerza sobre una pequeña tira cuya área es (dy.1), con el resultado.

domingo, 13 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (V)

Aparece que la cantidad mAD debe ser idénticamente cero en virtud del hecho que la cara AD está en la corriente libre, donde la velocidad del fluido es u∞. Sin embargo, se debe observar que la división del flujo en dos regiones es artificial y, en realidad, la velocidad del flujo en AD tiene componentes en la dirección y asía como en la dirección x. Esto da un valor diferente de cero para Δx →dx.

En seguida, aplicamos el principio de conservación de momento de volumen de control ABCD. Para condiciones de estado estacionario, éste se puede establecer en la forma

sábado, 12 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (IV)

La cantidad mAB que aparece en la ecuación anterior es la razón de flujo de masa a través de AB en la dirección +x. La cantidad mCD es la razón de flujo de masa a través de CD que se encuentra a una distancia dx de AB en el sentido de la corriente. Entonces la cantidad mAB se puede expresar en términos de mCD y su primera derivada de la misma manera que se expresó Qx+dx en términos de Qx y su primera derivada en la sección 2-2. Así que:


viernes, 11 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (III)

Considere una placa plana alineada en forma paralela a una corriente de fluido que tiene propiedades físicas y térmicas  constantes  y una velocidad de flujo libre uniforme, u Suponemos  un flujo incomprimible en estado estacionario. Suponga que la capa frontera sobre la placa tiene una forma como la que se muestra en la figura 7-6. Seleccionamos  un volumen de control ABCD, que tiene una amplitud  unitaria  dentro del plano del papel.

Con el fin de aplicar el principio de conservación de la masa, examinamos las razones de flujo hacia adentro del fluido y de flujo hacia fuera en todas y cada una de las caras del volumen de control. No hay flujo a través de la cara BC, que es una frontera sólida  (la superficie de la placa). La razón de flujo hacia adentro del volumen de control a través de un elemento de algura dy en la cara AB es

ρu (dy)(1)

donde la amplitud dentro del plano de la página se toma con valor igual a la mitad. Por lo tanto, la razón de flujo hacia adentro del volumen de control a través de AB, está dado por


jueves, 10 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (II)


  1. Se selecciona un volumen de control que abarque completamente el espesor de la capa frontera y que tiene una longitud diferencial en sentido de la corriente dx. Dicho volumen de control se ilustra en la figura 7-6.
  2. Se aplican principios de conservación de masa y de momento con el fin de generar ecuaciones integrales.
  3. Se supone que la velocidad, u, se puede representar en forma de polinomio en y.
  4. Se determinan los coeficientes del polinomio de acuerdo a las condiciones que debe satisfacer el perfil de velocidad en la superficie de la placa y el lado de la capa frontera.
  5. Se substituye el perfil de velocidad polinomial en la ecuación integral de momento y se resuelve para el espesor de capa frontera δ.
  6. Se calcula el esfuerzo cortante sobre la pared utilizando el perfil polinomial junto con la expresión para δ y la ecuación (7-2) 

miércoles, 9 de julio de 2014

Análisis integral de la capa frontera laminar (I)

En el análisis de transferencia de calor por convección de una placa plana, que se discutirá en el capítulo 8, necesitaremos la distribución de velocidades dentro de la capa frontera. Algunas veces nos referimos a la velocidad en la capa frontera como la capa frontera hidrodinámica. En el análisis del flujo en la capa frontera, nuestro objetivo consiste en determinar el perfil de velocidad, el espesor de la capa frontera y el esfuerzo cortante, o de arrastre, contra la pared. Existen dos métodos de análisis, (a) el método de integrales, y (b) el método de las diferenciales. El primero, es un método aproximado, mientras que el segundo es un método exacto. El método de integrales tiene la ventaja de que el análisis es relativamente sencillo y proporciona resultados aproximados para el perfil de la velocidad, el esfuerzo cortante sobre la pared  y el espesor de la capa frontera se puede obtener usando cálculo elemental. El análisis por diferenciales nos lleva a una ecuación diferencial no lineal que requiere el uso de técnicas numéricas. El primer método, cuyo crédito se asigna a von Karman (referencia 12) y Pohihausen (referencia 13), consta de los pasos siguientes.



martes, 8 de julio de 2014

Flujo Sobre una placa plana (II)

Para los fines de análisis, es conveniente dividir el campo de flujo en dos regiones (referencia 11). Sabemos que la velocidad del fluido e la superficie de la placa es cero y que a una distancia suficientemente grande hacia la placa, la velocidad es igual a : u. La región próxima a la superficie de la placa, en donde tiene lugar el 99% de la variación de velocidad, se llama región de al capa frontera. L. Prandtl introdujo el concepto de capa frontera con intenciones de simplificar el análisis. Una línea hipotética  separa la región de la capa frontera de la corriente principal. Se observa que al movernos en el sentido de la corriente separándonos del lado principal, el espesor  de la capa frontera crece. Para el aire fluyendo a 50 pies/seg, el espesor de la capa frontera a una distancia de un pie de separación del lado principal es del orden de 0.1 de pulgada. Se deben tomar en cuenta los efectos de viscosidad  cuando se examina el flujo dentro de la capa frontera. Al flujo en la región exterior a la capa frontera se le llama flujo de corriente libre. El flujo fuera de la capa frontera se trata como un flujo ideal (no viscoso).


El flujo dentro de la capa frontera puede ser laminar, transicional o turbulento. La naturaleza del flujo depende del número local de Reynolds, donde el valor del número de Reynolds está basado en la distancia, x, al lado principal. Se ha encontrado que si la corriente libre tiene turbulencia muy baja, entonces la capa de frontera es laminar, si el número local de Reynolds es menor que 5x10^5. La transición de flujo laminar a flujo turbulento puede comenzar con un número de Reynolds igual a 5 x 10^5 o mayor que éste.

Ahora presentaremos un análisis aproximado de la capa frontera laminar.

lunes, 7 de julio de 2014

Flujo Sobre una placa plana (I)

También se encuentra transferencia de calor por convección en la circulación forzada de gases calientes a través de un gran horno rectangular y en el viento frío que flota sobre las paredes exteriores de una estructura. Este último es un ejemplo de flujo externo. El tipo más simple de flujo externo es aquel que ocurre a lo largo de una placa plana. Considere  una placa plana de espesor reducido alineada en paralelo con un flujo que se desliza como se muestra en la figura 7-6. El efecto de la placa consiste en perturbar el campo de flujo que de otro modo sería uniforme. La corriente superior del flujo del lado principal de la placa se puede tratar como si fuera un fluido ideal (no viscoso). Sin embargo, se deben considerar los efectos viscosos al estudiar el flujo sobre la placa.

domingo, 6 de julio de 2014

Solución Flujo turbulento en tubos (II)

Suposiciones :

(I) Prevalecen condiciones de estado estacionario.
(2) El tubo es suave
(3) Las propiedades del flujo son constantes.
(4) El perfil de velocidad está completamente desarrollado.
(5) La caída de presión es constante (dp/dx = constante).
(6) La densidad del agua  es la misma que en condiciones estándar.

Física requerida: Ya que la razón de flujo es diez veces la del problema muestra 7-2, sospechamos que existe flujo turbulento, para  el cual se requiere usar el diagrama de Moody al determinar el factor de fricción.

Observamos que:


sábado, 5 de julio de 2014

Problema muestra Flujo turbulento en tubos (I)

Determine la caída de presión en el tubo del problema muestra 7-1 si la razón de flujo se incrementara a 4 galones por minuto y si el tubo tuviera 10 000 pies de longitud. Suponga que el tubo es suave.

Solución


Datos: Un tubo  de D.I. igual a 3/4 de pulgada con una longitud de  10 000 pies, contiene agua con una viscosidad de 2.36 lbm/h-pie, fluyendo a una razón de 4 gal/min

Objetivo: Determinar la caída de presión a lo largo del tubo y la potencia de bombeo necesaria para mantener el flujo.

viernes, 4 de julio de 2014

Flujo turbulento en tubos (III)

En flujo turbulento, la caída de presión que ocurre en tubos breves o ásperos se calcula mejor con ayuda de la ecuación (7-17) junto con los factores de fricción dádos por el diagrama de Moody, figura 7-5. De hecho el diagrama de Moody nos da factores de fricción para todos  los valores de los números  de Reynolds que se encuentran en la práctica y para todos  los grados prácticos de aspereza medidos según el parámetro sin dimensiones (ε/D).

jueves, 3 de julio de 2014

Flujo turbulento en tubos (II)

Las ecuaciones anteriores describen la distribución de velocidad de turbulencia universal cerca de una pared. Nos referimos con frecuencia a este conjunto de ecuaciones como la ley de la pared. Marinelli (referencia 6) obtuvo las ecuaciones mencionadas, interpretando los datos de Nikuradse (referencia 7). Estas ecuaciones dan por resultado discontinuidades en la pendiente de u, pero presentan el mecanismo de transporte de momento con más exactitud. El modelo de Deissler (referencia 8) elimina la distinción entre la capa de amortiguamiento y el núcleo de turbulencia, mientras que Spalding (referencia 9) presenta una sola ecuación para toda la región. Se pueden consultar las referencias 22 o 23 para una discusión más completa acerca de estos temas.

Se dice que un tubo es áspero si la altura,ε, de los elementos ásperos exceden el espesor, δ, de la subcapa viscosa. La razón (ε/D), se utiliza para caracterizar el grado de aspereza de un tubo. Los perfiles de velocidad para tubos ásperos están dados por ecuaciones [semejantes a la ecuación (7-21b)] en la referencia 10. Dichas ecuaciones toman en consideración la aspreza del tubo.

miércoles, 2 de julio de 2014

Flujo turbulento en tubos (I)

El análisis de flujo turbulento en tubos suaves es mucho más complejo que el análisis para flujo laminar. En un modelo análitico para flujo laminar. En un modelo análitico. En un modelo análitico simplificado, la región, 0 ≤r ≤ rw se divide en tres zonas. Cerca de la pared, el flujo es esencialmente laminar. Se denomina a esta región como la subcapa viscosa. Para el agua fluyendo a través de un tubo de 1 pulgada con un número de Reynolds de 10^6, el espesor de la subcapa viscosa es del orden de 10^-pulgadas. En la región adyacente al eje del tubo, existe una región completamente turbulenta que se conoce como el núcleo de turbulencia. Una tercera región, que recibe el nombre de zona de amorgiguamiento, separa a la subcapa viscosa del núcleo de turbulencia.

Cono el propósito de describir las distribuciónes de velocidad e las tres regiones, se utiliza una cantidad que se llama la velocidad de fricción. Dicha cantidad se define como

martes, 1 de julio de 2014

Problema Flujo laminar en tubos

Si el tubo de 3/4 pulgada de diámetro, que enunciamos en el problema muestra 7-1, transporta agua a lo largo de una distancia de 10 000 pies, determine la caída de presión y la correspondiente potencia de bombeo, necesaria para mantener el flujo.