martes, 28 de enero de 2014

Frontera Curvada (IV)

Para trabajar dichas ecuaciones, se multiplica la ecuación (5-36) por b y se suma al resultado a la ecuación (5-36b) para eliminar (δT/δx); de igual modo se multiplica la ecuación (5-36a) por a y se suma el resultado a la ecuación (5-36c) para eliminar (δT/δy). ESto da como resultado ecuaciones para



lunes, 27 de enero de 2014

Frontera Curvada (III)

Para este método, es mejor llegar a la ecuación nodal para P(i,j) considerando una expansión en series de Taylor para T1, T2, T3 y T4 alrededor de Tp. Las expansiones en series de TAylor son




En las ecuaciones anteriores, los últimos términos que aparecen en los miembros derechos indican términos del orden (O) de (Δx)³ o (Δy)³ o mayores.

domingo, 26 de enero de 2014

Frontera Curvada (II)

Es inútil decir que las temperaturas que se calculan en puntos de las frontera ficticia serán mayores o menos que la temperaturas verdaderas, debido a la exclusión o inclusión de material en la aproximación. En la figura 5-13 se da un método más exacto de cálculo para la frontera dada.

sábado, 25 de enero de 2014

Frontera Curvada (I)

En muchos problemas prácticos se incluyen fronteras que no son necesariamente líneas rectas. Una de las formas más simples de acomodar dicho tipo de fronteras consiste en reemplazar la frotera real por una frontera dentada,como se ilustra en la figura 5-12, donde, por conveniencia, Δx y Δy se suponen iguales. Introduciendo dichas fronteras dentadas, se agregan áreas en algunas regiones y se disminuyen en otras. Hasta donde es posible, se hace el intento de tener un equilibrio entre las áreas de más y de menos. El éxito de esta tentativa nos asegura que la energía interna del cuerpo cuya frontera se intenta aproximar es, esencialmente, la misma que la energía interna del cuerpo con la frontera modificada se encuentra cualitativamente y cuantitativamente cercano al de la frontera real. La frontera modificada es del tipo que hemos considerado antes, puesto que consta solamente de nodos esquina exteriores y reentrantes.

viernes, 24 de enero de 2014

Representación de condiciones en la frontera en una esquina reentrante - Frontera Convectiva

En este caso, tenemos una contribución más al balance de energía debido a la ecuación proveniente del fluido ambiente. Observe que el área a través de la cual tiene lugar dicha ganancia, es [(1/2)(Δx.l) + (1/2)(Δy.l)]. Asi que



jueves, 23 de enero de 2014

Representación de condiciones en la frontera en una esquina reentrante - Frontera Aislada

Frontera Aislada. No puede haber flujo de calor alguno desde la superficie reentrante hacia P. Por lo tanto, para la conservación de la energía, tenemos sencillamente

miércoles, 22 de enero de 2014

Representación de condiciones en la frontera en una esquina reentrante (II)

Observemos que las áreas disponibles para el flujo de calor de T a P y de Q a P en la figura 5-11 son [(1/2)(Δy.l)] y [(1/2)(Δx.l)], respectivamente, y tenemos que

martes, 21 de enero de 2014

Representación de condiciones en la frontera en una esquina reentrante

Si tenemos una configuración bidimensional que semeja la sección transversal de dos paredes que se intersecan en una esquina, el punto nodal en la esquina formada de este modo se llama esquina reentrante. El nodo P de la figura 5-11 se localiza en una esquina reentrante. Los nodos en las esquinas A, B, C y D de la figura 5-7 se llaman nodos esquinas exteriores. Una frontera que se parece a la sección transversal de una jaula de escalera deberá tener un buen número de nodos esquinas reentrantes y exteriores. En la sección anterior examinamos las condiciones en la frontera para un lado y una esquina exterior en un problema bidimensional. Se discutieron los casos de una frontera isoterma, una frontera convectiva, una frontera aislada, y una frontera con flujo de calor unitario uniforme. En seguida presentamos el trato de estas condiciones en la frontera para una esquina reentrante.

lunes, 20 de enero de 2014

Resultados Problemas Sistemas bidimensionales en estado estacionario (II)

Un buen número de cantidades que aparecen entre paréntesis en la ecuación anterior son idénticamente cero, ya que Ti,4 = 300°C para i=1,2,.....6.

Substituyendo se tiene

domingo, 19 de enero de 2014

Resultados Problemas Sistemas bidimensionales en estado estacionario (I)

En seguida se presentan los resultados que se obtienen de la computadora para el problema que estamos tratando.
Resulta interesante determinar la razón de transferencia de calor a través de la frontera AD, QAD, necesario para mantener a la misma a una temperatura de 300°C. Esto se puede conseguir haciendo la suma de cantidades de calor que llegan a cada nodo en AD por unidad de tiempo. Esto nos da la siguiente ecuación para QAD.


sábado, 18 de enero de 2014

Problemas Sistemas bidimensionales en estado estacionario (II)

El programa computa temperaturas en estado estacionario para las entradas que se especifican. Si el programa se usa para diferentes conjuntos de propiedades, entonces los enunciados READ se deben usar para leer cada conjunto de entradas como en el problema muestra 5-1. Siempre que sea posible, las conexiones DO se usarán para generar varios elementos repetitivos de la matriz de coeficientes. En el problema muestra 5-1, se pudo hacer más fina la red, ya que la naturaleza unidimensional del problema nos da como resultado tan sólo dos ecuaciones para los nodos frontera independientes del número total de puntos nodales. Por otra parte, en un problema bidimensional se tiene 2(M+N) nodos frontera más, para los cuales se requieren ecuaciones individuales. Además, cada vez que el espacio nodal se divide en dos, el número de nodos frontera se aumenta por un factor de dos. Por lo tanto, se requeriran mucho más enunciados Fortran para hacer el programa más suficientemente flexible de modo que se acomode al tamaño variable de la red.

viernes, 17 de enero de 2014

Problemas Sistemas bidimensionales en estado estacionario (I)

Considere una placa rectangular de dimensiones 24 cm por 40 cm y con espesor de 1 cm. En el siguiente bosquejo se muestran las condiciones térmicas en la frontera. No hay flujo de calor en la dirección normal al plano de la figura. Determine la distribución de temperatura en la placa bajo condiciones de estado estacionario. La conductividad térmica de la placa es de 25 W/m°K La temperatura ambiente es de 25°C

Las ecuaciones que se dedujeron en la sección anterior se aplican directamente a este problema. En seguida damos las ecuaciones nodales en que se han calculado varios coeficientes. En general dichas ecuaciones constan de expresiones algebraicas.

jueves, 16 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario: Nodos de las Esquinas (IV)


La ecuación (5-24) para los nodos internos y las ecuaciones (5-25) a (5-30) para los nodos frontera representan un conjunto completo de (MxN) ecuaciones en (MxN) temperaturas desconocidas. Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando los métodos que se discutieron en la sección 5-2. En un problema bidimensional, con frecuencia se encuentra necesario el uso del método de solución iterativo, cuando el número de ecuaciones aumenta.

miércoles, 15 de enero de 2014

martes, 14 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario: Nodos de las Esquinas (II)

Ahora debemos obtener ecuaciones para los nodos esquina B y C (fig. 5-7). En la figura 5-10 se ilustra el detalle de la red para estas esquinas. Un balance de energia para la esquina B nos da como resultado

lunes, 13 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario: Nodos de las Esquinas (I)

En cada nodo coinciden dos lados, y por lo tanto se tiene la impresi;on de que debieran satisfacer dos tipos de condiciones en la frontera en el mismo punto.  Así como no se requiere que un nodo esquina tenga dos temperaturas diferentes al mismo tiempo, en virtud de que se trata del punto común de dos fronteras isotermas, resulta que no hay dificultad alguna para tratar un nodo vértice. Una discusión más completa acerca de este punto se encuentra más allá del alcance de este texto. En consecuencia, hacemos uso de la condición en la frontera para una esquina que nos lleva a una ecuación relativamente simple. Así que, en las esquinas A y D, que son parte de la cara AD, como se establece que la temperatura en la cara AD completa es To, se requiere que:


domingo, 12 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (VIII)

Cara DA. La condición en la frontera que se impone en esta cara es la más sencilla para trabajar, ya que se establece que la temperatura misma sea To. Así que, no hay necesidad de efectuar un balance de energía, y tenemos


sábado, 11 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (VII)

Cara CD. Examinando la figura 5-9(c), se observa que esta cara recibe energía del fluido ambiente por convección, y que el área [(Δx/2).1]está disponible para el flujo de calor desde los nodos de frontera, por lo cual podemos escribir.

viernes, 10 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (VI)

En la última ecuación, Q(ext→ P) representa el flujo de calor debido al flujo de calor unitario externo hacia dentro del cuerpo.

Para estado estacionario se tiene.


jueves, 9 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (V)

Cara BC. Permítanos efectuar un balance de energía en un nodo arbitrario, P, en la cara BC, rodeado por los nodos R, S, y T. La expresión para el calor que se conduce desde el nodo interno, S, será semejante a las que se desarrollaron para la conducción de calor en el caso de los nodos internos. Las áreas transversales disponibles para la conducción de calor de los nodos frontera R y T a P es tan sólo [(Δy/2).1]. Por lo tanto, podemos escribi

miércoles, 8 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (IV)

Nos referimos a la ecuación (5-24 o 5-24a) como la ecuación para el nodo (i,j), ya que se obtiene efectuando un balance de energía en dicho elemento. Deducir las ecuaciones para la temperatura en los nodos internos únicamente, resulta insuficiente, porque la ecuación (5-24 ó 5-24a) representa (M-2)(N-2) ecuaciones con M xN incógnitas. Se obtendrá un conjunto completo de ecuaciones escribiendo un balance de energía para los nodos frontera. Se debe tener un cuidado especial cuando se trate con los nodos de las esquinas en A, B, C, y D.

Cara AB. Permitanos examinar un nodo arbitrario, P, en la cara AB,rodeado por los nodos R, S y T. La expresión para el calor conocido de S a P sera semejante a la que se usa para la conducción de calor en los nodos internos.

Cuando se examina la conducción de calor de los nodos frontera R o T a P, se observa que el área disponible para el flujo de calor es tan sólo [(Δx/2).1], aun cuando la distancia a lo largo de la cual se conduce el calor continúa siendo Δy. Así que tenemos.


martes, 7 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (III)

Ahora efectuamos un balance de energía (fig. 5-8) en un nodo (i,j). Cada nodo interno tiene asociado consigo mismo un volumen de espesor unitario, encontrándose el nodo del mismo en el centro del volumen del elemento. Se supone que las temperaturas entre dos nodos adyacentes verticales u horizontales, varían linealmente. Se supone que el flujo de calor que proviene de elementos adyacentes al elemento que se está examinando, es de la forma que se muestra en la figura 5-8. La conservación de la energía requiere que la suma algebraica del calor que fluye hacia el elemento, cuyo centro es P, sea igual a cero en condiciones de estado estacionario. El calor que se conduce hacia adentro del elemento, desde varias direcciones está dado por




lunes, 6 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (II)

Las ecuaciones del anterior post, implican que la cara AB está aislada, la cara BC recibe un flujo de calor unitario uniforme, la cara CD pierde calor por convección, y la cara DA se mantiene a una temperatura constante, To. No existe flujo de calor en la dirección normal al plano de la figura. Aun cuando se puede observar al problema analíticamente, su solución incluiria superposición de varias soluciones. Para resolver el problema numericamente, dividimos la amplitud de la placa a en (M-1) partes iguales, de longitud Δx, cada una, y la altura b en (N-1) partes iguales de longitud Δy. La red resultante tendrá M por N puntos nodales. Todos los puntos que se encuentran en la frontera A-B-C-D-A se llaman nodos frontera, y el resto de los puntos de la red se llaman nodos internos. Es conveniente referirnos a un punto nodal por sus coordenadas nodales (i,j). La relación entre las coordenadas nodales (i,j) y las coordenadas físicas (x,y) es

domingo, 5 de enero de 2014

Sistemas bidimensionales en estado estacionario (I)

La forma de resolver un problema bidimensional en estado estacionario utilizando los métodos numéricos es esencialmentela misma que utilizamos en el caso unidimensional. Los pasos a seguir son idénticos a los que se bosquejan en la sección anterior.

Considere una placa rectangular en la cual se desea calcular la ditribución de temperatura. Suponga que las propiedades físicas son constantes y uniformes, y que las condiciones en la frontera son como se ilustra en la figura 5-7.

sábado, 4 de enero de 2014

Variables en el programa Fortran

En seguida se proporciona una lista de variables que se usarán en el programa de la computadora.

viernes, 3 de enero de 2014

Programación de la ecuación

Las ecuaciones deducidas, al programarlas y resolverlas en una computadora, nos darán la distribución de temperatura en la aleta radial. No obstante, se debe observar que el coeficiente convectivo de transferencia de calor no es una cantidad constante sino que varía de acuerdo a la temperatura de la superficie, en forma no lineal. La solución debe ser iterativa como se ha descrito con anterioridad. En un método iterativo para encontrar la solución a este problema, necesitamos tolerancias en las diferencias que resultan en los valores Ti que obtenemos en dos iteraciones sucesivas, al igual que para las diferencias que resultan en los valores hi. Al principio, observando que To y T∞ son conocidos, suponga h = 0.29(To - T∞)^0.25 = ho, y calcule todas las temperaturas en la aleta. En este punto, no debemos esperar que no se rebase la tolerancia dada para las diferencias en los Tis de dos iteraciones sucesivas, ya que hemos utilizado una aproximación demasiado burda para los valores de las his. En seguida se calculan de nuevo desde h1 a h19 en base a las temperaturas nuevamente calculadas. Se debe hacer una comparación entre los dos conjuntos de valores de los his para determinar si las diferencias entre dichos conjuntos se encuentran dentro de la tolerancia preestablecida. En este paso, no se puede esperar que las diferencias sean sufiecientemente pequeñas. Por lo tanto, una vez más se calculan las temperaturas utilizando el nuevo conjunto de his. Cuando se repite este proceso completo durante un buen número de veces, podemos obtener una solución que cae dentro de las tolerancias prescritas para los valores de his y Tis.

jueves, 2 de enero de 2014

Problema Conductividad térmica variable

En la figura inferior se muestra una aleta radial de sección rectangular. Tiene un espesor de 5/16 de pulgada y radios interior y exterior de 2 pulgadas y 4 pulgadas, respectivamente. La temperatura de la base de la aleta es de 200°F, y e fluido que la rodea se encuentra a 100°F. El coeficiente de transferencia de calor está dado por:

h = 0.29(T-T∞)^0.25

en cuya expresión h está dado en Btu/h-pie²°F, y T y T∞ tienen unidades de °F. Usando un modelo que consta de 19 nodos para diferencias finitas, determine la distribución de temperatura en la aleta. La conductividad térmica del material es 1.0Btu/h-pie°F.



miércoles, 1 de enero de 2014

Conductividad térmica variable (II)

La variación de la conductividad, provocada por cambios de temperatura, se puede especificar como una relación funcional o como un conjunto de valores tabulados. En cualquiera de los casos, se puede usar un procedimiento similar al que se da para el caso de un coeficiente de transferencia de calor variable. Se debe tener cuidado al compilar valores de la conductividad pues son k(i-1/2) y k(i+1/2) los requeridos por las ecuaciones. Estos valores para la conductividad corresponden a las temperaturas en las dos interfaces de los elementos (i-1) e i, o i e (i+1), respectivamente.