sábado, 30 de noviembre de 2013

Distribución de temperatura (II)

La razón de calor que se conduce del (i+1)-ésimo nodo es



De acuerdo a la física del problema, sabemos que el calor se debe conducir desde i a (i+1) si el nodo i se encuentra a una temperatura más alta que (i+1). Sin embargo resulta conveniente emplear la forma de la ecuación (5-1a) para mantener la teneduría de libros sencilla. Si, en realidad, T(i+1) es menor que Ti, la ecuación (5-1a) nos entrega automáticamente una cantidad negativa, forzándonos a invertir la dirección de la flecha Q(i+1)→ i

Para el calor que fluye hacia dentro por convección en las caras superior e inferior, las expresiones son:


viernes, 29 de noviembre de 2013

Distribución de temperatura (I)

Hasta aquí hemos realizado los pasos 1 y 2 que se bosquejan en la sección 5-1. En seguida, con el fin de determinar la distribución de temperatura en la aleta, efectuamos un balance de energía en el nodo i-ésimo, que es representativo de todos y cada uno de los nodos internos desde i=2 hasta i=(M-1). Los nodos 1 y M se tratan por separado.

Por conveniencia en la deducción, se supone que la energía calorífica fluye hacia dentro del i-ésimo elemento por conducción por la izquierda y por la derecha por convección desde la parte superior y desde la parte inferior. Esto se ilustra en la figura 5-3. La suma algebraica de estas cuatro contribuciones debe ser igual a cero bajo condiciones de estado estacionario, o igual al cambio en la energía interna del i-ésimo elemento bajo condiciones no estacionarias. Ahora procedemos escribiendo expreciones para el flujo de calor hacia dentro del elemento desde las diferentes direcciones.

La razón de calor que se conduce desde el (i+1)-ésimo nodo hacia el i-ésimo nodo (figura 5-3) es



La ecuación anterior está basada en las suposiciones de que al temperatura varía linealmente de (i-1) a i y el área disponible para el flujo de calor es (t.1), donde t es el espesor de la aleta. También observamos que Δx es la distancia entre los nodos (i-1) e i.

jueves, 28 de noviembre de 2013

Formulacion unidimensional (III)

Se considera que el dominio de cada nodo interno recorre una distancia (±Δx/2) a cada lado de su posición. De este modo, un nodo interno es representativo de un bloque o elemento de dimensiones (Δx . t . 1), en cuya expresión se considera una profundidad unitaria hacia dentro del plano del papel. Se supone para los fines del método numérico, que la temperatura media de este elemento es Ti, y que la temperatura media cambia a T(i+1) y T(i-1) para los dos elementos adyacentes según se muestra en la figura 5-3. Las coordenadas de estos elementos en la dirección de las x, se pueden designar mediante xi, x(i+1), x(i-1), etc., y los puntos centrales de estos elementos, es decir los puntos nodales, se pueden designar de igual modo como i, (i+1), 9i-1), etc. Los nodos den la frontera, el primero y el M-ésimo nodos en la figura 5-2, son los nodos frontera, y representan a elementos de dimensiones (Δx/2)(t . 1), esto es, los elementos frontera tienen la mitad del tamaño que tienen los elementos internos.

miércoles, 27 de noviembre de 2013

Formulacion unidimensional (II)

Consideramos una aleta rectangular de longitud, L, y espesor uniforme, t. La temperatura en su base (x = 0) es To y la extremidad de la aleta (x = L) pierde calor por convección. Suponga que la temperatura ambiente es T∞. Supongamos que todas las temperaturas son estables con respecto al tiempo. Se supone que los coeficientes convectivos de transferencia de calor para la superficie superior, la superficie en la base, y las extremidades, son idéntidos y se designan por h. También suponemos que el material de que está hecha la aleta tiene conductividad constante, k.

La figura 5-2 muestra la longitud, L, de la aleta dividida en (M-1) partes iguales, con longitud Δx, cada una de ellas dando por resultado M nodos. Con frecuencia resulta satisfactorio contar un valor de M igual a 10. En general, se mejora la exactitud de la solución cuando se hace crecer el valor de M.

martes, 26 de noviembre de 2013

Formulacion unidimensional (I)

Es un problema tipico de aletas, la cantidad de calor que pasa a través de la sección transversal de la aleta decrece progresivamente al  ir de la base de la aleta hacia el extremo de la misma. Esto se debe al calor que por convección, fluye de la superficie de la aleta hacia el fluido ambiente. Cuando se dan valores específicos de la temperatura en la base, la temperatura del fluido ambiente, y los coeficientes convectivos de transferencia de calor en la pared superior y la superficie del fondo de la aleta, usualmente nos interesa determinar la distribución de temperatura en la aleta y la razón de flujo de calor en su base. El flujo de calor es igual a la energía que se extrae de la superficie a la cual se encuentra anexa la aleta. En esta sección, aplicaremos métodos numéricos a una aleta recta con sección transversal rectangular, y obtendremos una solución que se compara con una solución análitica existente. En este momento no necesitamos conocer el método que se requiere para obtener la solución análitica; sencillamente usaremos las expresiones con que contamos para la distribución de temperatura y la razón de flujo de calor, según se dieron en el capitulo 2.

lunes, 25 de noviembre de 2013

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (V)

El trato que se da a otras geometrías unidimensionales y a los casos en que e cuenta con propiedades físicas variables se describe siguiendo la discusión que se proporciona en los capitulos anteriores, para las aletas. La sección 5-4 trata de la solución numérica de problemas bidimensionales con  una gran variedad de condiciones en la frontera. Finalmente se discuten situaciones de estado no estacionario con formulaciones explicitas e implicitas. Se presentan, además, criterios simplificados de estabilidad numérica para los casos de estado no estacionario.

domingo, 24 de noviembre de 2013

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (IV)

Como el lector puede apreciar en los capitulos que se han dedicado a la conducción de calor, el grado de complejidad aumenta cuando se pasa de transferencia de calor unidimensional en cuerpos con conductividad constante, a problemas de conducción de calor multidimensional y/o bajo condiciones de estado no estacionario en cuerpos cuyas propiedades varian. En este capítulo, se discuten problemas cuya complejidad varia sucesivamente.

Al discutir las soluciones numéricas para problemas de estado estacionario, se presenta en primer lugar el problema de una aleta rectangular. Una aleta rectangular es sencillamente una pequeña placa, delgada que se anexa a una pared cuya temperatura es constante. Las aletas se usan para aumentar la razón de transferencia de calor de una superficie aumentando el área disponible para la transferencia de calor por convección. La energía calorifica se conduce hacia la aleta a través de su base o raíz en la pared. Entonces dicha energía se transporta por convección desde la cima y el fondo de la aleta hacia afuera. Si el espesor de la aleta es uniforme, se le llamará aleta rectangular. El problema de la aleta rectangular es en esencia, un caso de transferencia de calor unidimensional.

sábado, 23 de noviembre de 2013

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (III)

4. Se efectúa un balance de energía en cada elemento que interviene para llegar a una ecuación algebraica para temperatura del nodo.
5. Se arreglan todas las ecuaciones en una forma adecuada, de modo tal que se pueden resolver mediante un proceso iterativo o por algún otro método y obtener así una solución con auxilio de una computadora.



viernes, 22 de noviembre de 2013

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (II)

3. Se supone que a) la temperatura de un elemento se representa por la del nodo, b) la distribución de temperatura entre dos nodos adyacentes es líneal, c) la conductividad térmica que se usa para el flujo de calor entre dos nodos adyacentes se evalúa en la temperatura de la interface de los dos elementos adyacentes, y d) el área disponible para la conducción de calor entre dos nodos adyacentes es el área de la interface de los dos elementos.

jueves, 21 de noviembre de 2013

Los pasos que se incluyen en una solución numérica (I)


  1. Se reúne toda la información importante acerca del problema dado, incluyendo geometría, condiciones en la frontera (temperaturas preestablecidas, flujos de calor unitario preestablecidos, fronteras aisladas, radiación en las fronteras, convección natural o frozada en las fronteras), y propiedades físicas.
  2. Se divide el cuerpo en una red patrón, que lo subdivide en un número finito de elementos y puntos llamados nodos. La exactitud aumentará tanto como la red se haga más fina; sin embargo, aumentará el tiempo requerido para encontrar la solución. En análisis numérico de conducción de calor, se usa a un nodo en general para representar a un elemento. El nodo de un elemento interior se localiza en el centro del elemento. Un nodo de un elemento de la frontera se encuentra en la superficie exterior del elemento.

miércoles, 20 de noviembre de 2013

Métodos numéricos en conducción de calor (II)

En todos los casos antes mencionados, y en muchos otros, si uno está equipado con los principios fundamentales de conducción de calor que hemos tratado al principio de este blog, y con cierto conocimiento de métodos numéricos y programación de computadoras (usualmente Fortran IV), se obtendrá con éxito la solución requerida. Los métodos numéricos que se presentarán en este capitulo están basados en la técnica de diferencia finita. Se deducirán las ecuaciones de diferencia finita, aplicando el principio de conservación de la energía. Este enfoque, que nos mantiene en contacto con la física del problema, se considera más conveniente que el enfoque alterno de comenzar con las ecuaciones diferenciales existentes de conservación de energía y luego partirlas en forma de diferentes finitas. De aquí en adelante, se supone que el estudiante cuenta con un primer curso en programación Fortran IV.

En los métodos exactos de análisis, se busca una función matemática que dependa de las variables espaciales (x,y,z) y del tiempo (t), que nos dará un valor de la temperatura ( o flujo de calor unitario) en cada punto de un cuerpo y en cada tiempo dado. En los métodos numéricos, se dirige la atención hacia un número finito de puntos discretos dentro del cuerpo dado y sobre su superficie.

Métodos numéricos en conducción de calor (I)

El uso de los métodos numéricos para resolver problemas de transferencia de calor, resulta de la complejidad de las soluciones asociadas a los problemas prácticos de ingeniería. Con frecuencia, las soluciones analíticas son imposibles. Los factores que conducen al uso de los métodos numéricos son la geometría compleja, condiciones en la frontera no uniformes, condiciones en la frontera que dependen del tiempo, y propiedades que dependen de la temperatura. Ejemplos de geometría compleja se encuentran en las paletas de una turbina, los cilindros de una máquina de combustión interna, y la estructura de soporte para una línea de tubería que transporta fluidos calientes. Los coeficientes convectivos de transferencia de calor, involucrados en las condiciones en la frontera para problemas de conducción, varian en general con la posición y en problemas de convección natural pueden llegar a depender hasta de la diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido. Cuando se presentan gran des cambios de temperatura dentro de un cuerpo dado, usualmente la conductividad térmica no es constante y más bien se espera que varie significativamente dentro del cuerpo.

En algunos casos, es posible conseguir soluciones analíticas, en principio, pero puede ser mucho más difícil la mecánica que se requiere para obtener la solución, que la tarea requerida para resolver el problema numéricamente. Por ejemplo, en el caso de un cuerpo compuesto por varias capas de materiales que experimentan un proceso de transferencia de calor transitorio, resulta relativamente fácil establecer las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la solución es extremadamente compleja, debido a que se hace necesario tratar con ecuaciones diferenciales parciales simúltaneas.

martes, 19 de noviembre de 2013

Problema Integral de balance de calor

Una placa larga de acero cuya temperatura inicial es uniforme y con valor de 550°F, experimenta una disminución súbita de su temperatura en la superficie a 100°F. Calcule el tiempo requerido para que la temperatura llegara a 200°F en un punto que se encuentra a 1 pulgada de la superficie. Además, determine la razón de calor instantáneo que se extrae de la placa por pie cuadrado en el tiempo t. La difusividad térmica y la conductividad térmica del acero son 0.45pie²/h y 25 Btu/h-pie°F, respectivamente.




Integral de balance de calor (VII)

Como puede verse, ambos coinciden completamente bien. Utilizando otros hechos conocidos, a saber, que las derivadas de orden superior de la temperatura con respecto a x son igual a cero en x = δ, se puede expander el polinomio que describe a T(x,t) para obtener resultados ligeramente diferentes. Dependiendo del orden del polinomio que se usa, los resultados pueden ser mas o menos exactos que los que se obtienen con el polinomio de segundo orden que utilizamos en esta sección.


Se pueden aplicar los resultados que se obtienen por medio de la integral de balance de calor y por medio de la solución exacta a sólidos finitos siempre y cuando el frente móvil de temperatura definido por δ no se mueva a través de todo el cuerpo. Por ejemplo, considere la pared que se muestra en la figura 4-18. Para valores de δ < L, será válida la distribución de temperatura.

lunes, 18 de noviembre de 2013

Integral de balance de calor (VI)

Recordamos que nuestro objetivo en cualquier análisis de transferencia de calor es el cálculo de la distribución de temperatura y los flujos  de calor unitarios que resultan, y procedemos de la siguiente manera: Postulamos que es posible escribir T(x,t) en términos de un polinomio

T(x,t) = a(t) +  b(t)x + c(t)x² + d(t)x³ +..........

en cuya expresión, las constantes a, b, c, d, etc. pueden depender del tiempo. Es necesario eliminar las constantes conocidas según se muestra en la figura 4-17.





Integral de balance de calor (V)

Como T(δ) es igual a To, el segundo término del miembro izquierdo de la ecuación anterior desaparace.

Por lo tanto, podemos escribir la ecuación de balance de energía en la forma:
Esta expresión es la integral de balance de calor. dicha expresión constituye un enunciado de la conservación de energía total para el elemento finito de amplitud x= 0 a x = δ.

domingo, 17 de noviembre de 2013

Integral de balance de calor (IV)

La razón de cambio de la energía interna para una rebanada delgada cuya amplitud es dx, y con área A, medida en la dirección normal a la dirección x es pcAdx(∂T/∂t). Por lo tanto

Integral de balance de calor (III)

La principal diferencia entre el análisis que se hace usando la integral de balance de calor y la solución análitica que se presenta en la sección 4-4 consiste en que al primero requiere  de que se satisfaga en promedio la conservación de la energía a través de toda la cubierta, x = 0 a x = δ, mientras que la última requiere que la ecuación de energía se satisfaga en cada punto individual del cuerpo. En el primero se trata de un enfoque integral, mientras que en la última se trata de un enfoque diferencial.

Comenzamos con un balance de energía en la placa de amplitud δ:

sábado, 16 de noviembre de 2013

Integral de balance de calor (II)

Considere un sólido semiinfinito como se muestra en la figura 4-16. La distancia a la cara izquierda del sólido, donde se experimenta el efecto de un cambio de temperatura que se produce en la superficie se designa por la cantidad de δ(t) y se le llama amplitud de penetración. Esta cantidad depende del tiempo, t, y se define como la posicion en que T(x,t) = To. Es decir δ(t) es el valor de x para la cual

Integral de balance de calor (I)

Durante la discusión de transferencia de calor por convección en los campitulos de mas adelante, se tratará el método de Karman-Pohlhausen, empleando integrales de momento y energía para resolver el problemas que se establecen en la cubierta frontera. En espíritu, este método es similar al método de la integral de balance de calor para problemas de conducción de calor unidimensional. En consecuencia, la integral de balance de calor se introduce en esta parte no sólo por la utilidad que presta para resolver problemas de conducción unidimensional, sino también como una introducción a las técnicas que se emplean para resolver ecuaciones que se establecen en la cubierta frontera.


viernes, 15 de noviembre de 2013

Problema 2 Sistemas transitorios Bi y Tridimensionales

Un disco hecho con 0.5% de acero, cuyo diámetro es de 12 pulgadas y con un espesor de 4 pulgadas, se encuentra a una temperatura inicial de 500°F, y se sumerge en un líquido cuya temperatura es de 0°F, de tal suerte que los coeficientes convectivos de transferencia de calor en los extremos y el lado del cilindro son de 60 Btu/h-pie²°F y 250 Btu/h-pie²°F, respectivamente. Cuál es la temperatura en el centro del disco y en el centro de la superficie de uno de los extremos después de transcurridos cinco minutos?

Solución:

Datos:   Un disco hecho con 0.5% de acero, cuyo diámetro es de 12 pulgadas y que tiene un espesor de 4 pulgadas, está inicialmente a una temperatura To = 500°F. El disco se sumerge en un líquido cuya temperatura es de 0°F y tal que los coeficientes convectivos de transferencia de calor en los extremos y en la superficie cilindrica son h(extremos = 60 Btu/h-pie²°F y hlado =  250 Btu/h-pie²°F, respectivamente.





Comentarios: Los cálculos realizaros muestran que, después de cinco minutos, el centro tiene una temperatura de 208°F y los extremos se encuentran a 179°F. Observe que si el coeficiente de transferencia de calor en los extremos y en la superficie cilíndrica se intercambian, las respuestas cambian de modo significativo. El lector interesado en trabajar de nuevo este problema intercambiando los valores de ha, encontrará que T(0,0,t) = 108°F y T(0, 2 pulg, cinco min) = 61.6°F

Problema Sistemas transitorios Bi y Tridimensionales

Un dilindro corto cuyo D.E. es de 75mm y cuya longitud es de 10 cm se encuentra a una temperatura uniforme de 250°C. En el tiempo igual a cero, se le coloca en un medio ambiente convectivo donde h = 400 W/m²K y T∞ es de 40°C. Si las propiedades del material son α = 0.046m²/h, y k = 37 W/m.K, determine la temperatura en el centro del cilindro después de cuatro minutos.

Solución:

Datos: Un cilindro con D.E. de 75mm y longitud de 10cm se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme de 250°C y se sitúa en un medio convectivo, donde T∞ es igual a 40°C. Para el cilindro, k = 37 W/mK, α = 0.046m²/h y el valor de h es 400 W/m²K

Objetivo: Encontrar la temperatura en el centro del cilindro después de que transcurren cuatro minutos.



jueves, 14 de noviembre de 2013

Sistemas transitorios Bi y Tridimensionales (II)

Si fuéramos a considerar el cuerpo que se muestra en la figura 4-15(a), debemos expresar la distribución de temperatura en dicho cuerpo como





En síntesis, la figura 4-15 nos muestra la solución requerida en forma de producto para las geometrías que se indican. Para efectuar el análisis, usaremos la siguiente notación.



Al determinar la solución para las diferentes geometrías [C(r,t), P(x,t), y S(x,t)], debemos utilizar el coeficiente convectivo de transferencia de calor apropiado, h, asociado con la superficie que se pretende analizar. Se debe observar que el valor de h puede ser diferente para las diferentes geometrias que comprenden la solución total, y que este enfoque es válido solamente para cuerpos cuya temperatura inicial es uniforme a través del mismo.


Sistemas transitorios Bi y Tridimensionales (I)

Hasta aquí hemos discutido tan sólo el flujo de calor unidimensional en paredes, cilindros y esferas. No obstante, en muchos problemas prácticos se incluye el flujo de calor bi y tridimensional. Con mucha frecuencia se obtiene la solución de dichos problemas en forma de producto, en el cual, los factores separados en el producto son sencillamente funciones de x y t, y y t, z y t, o r y t.

Considere las diferentes formas de cuerpos que se muestran en la figura 4-15. Cuando encontramos un cuerpo semejante a alguno de los que se ilustran en la figura 4-15, cuya temperatura inicial es constante a través del cuerpo y para el cual, en el tiempo igual a cero, su límite está expuesto a transferencia de calor por convección, podemos expresar la distribución de temperatura en el cuerpo como un producto de varias soluciones unidimensionales. Para ser especificos, permítanos considerar un cilindro cuya altura es igual a 2L, según se muestra en la figura 4-15. Podemos imaginar a este cuerpo como si estuviera formado por la intersección de una gran pared plana (sección 4-3.1) cuyo espesor es igual a 2L, y un cilindro largo (sección 4-3.3) cuyo radio es ro. Podemos tener el coeficiente conectivo de transferencia de calor, hc, en la cara cilindrica del cuerpo diferente del coeficiente convectivo de transferencia de calor, hp, en la parte superior y en el fondo del cilindro. No obstante, en este caso T∞ debe ser el mismo en todas y cada una de las superficies del cuerpo. La distribución de temperatura en este cuerpo está dada entonces por:



miércoles, 13 de noviembre de 2013

La función de error


Flujo de calor transitorio en cuerpos seniinfinitos (III)

Considere en seguida el caso en que la temperatura del sólido semiinfinito no se eleva o disminuye instantáneamente a una temperatura Ts, sino que más bien la superficie está expuesta a un medio ambiente convectivo cuya temperatura es T∞ , en el tiempo t=0. La solución para esta situación, se hace completamente complicada y se da aquí en forma gráfica en la figura 4-13 . El uso de la figura 4-14 es directo si desea determinar T(x,t) después que ha transcurrido un incremento de tiempo t, Determine tan sólo los parámetros

martes, 12 de noviembre de 2013

Problema Flujo de calor transitorio en cuerpos seniinfinitos

Una placa larga de acero, que inicialmente se encuentra a una temperatura uniforme de 550°F, súbitamente experimenta una disminución de la temperatura en su superficie a 100°F. Calcule el tiempo requerido para que la temperatura llegue a 200°F en un punto situado a 1 pulgada de la superficie. Además, determine el calor total que se quita a la placa por pie cuadrado durante el mismo tiempo. La difusividad térmica y la conductividad térmica del acero tienen los valores de 0.45 pies²/h y 25Btu/h-pie°F, respectivamente.

Solución:

Datos: Una placa larga de acero cuya temperatura inicial es de 550°F, súbitamente experimenta una disminución en la temperatura de su superficie a 100°F, Para la placa tenemos, difusividad térmica..






Flujo de calor transitorio en cuerpos seniinfinitos (II)

Para determinar el calor total que se agrega y que es igual al cambio en la energia interna del sólido semiinfinito durante el tiempo t, sencillamente que se integra Qx = 0 sobre el intervalo del tiempo (0-t). Es decir.


lunes, 11 de noviembre de 2013

Flujo de calor transitorio en cuerpos seniinfinitos (I)

Un cuerpo semiinfinito es aquel en el cual, es un instante dado, siempre existe una parte del cuerpo en que la temperatura permanece sin cambio alguno cuando ocurre un cambio de temperatura en una de sus fronteras. Un ejemplo lo constituye la corteza terrestre. Si se cambia la temperatura en la superficie de la tierra, siempre habrá algún punto por debajo de la superficie que no experimente el efecto del cambio. Más aún, a una distancia de varios pies bajo la superficie de la tierra, puede ser que no se sientan las fluctuaciones de la temperatura en la superficie durante un largo tiempo. Esto se observa en los climas del norte, donde la línea de heladas del invierno no llega a 4 a 6 pies antes de abril, en cuyas fechas la superficie de al tierra ya se ha calentado. Cuando se alcanza este nivel, con frecuencia el agua  y líneas de alcantarillado se congelan en días que aparecen ser de aquellos agradables días de primavera. Aun la distribución de temperatura transitoria en una pared planta se comporta igual que la de un sólido smiinfinito hasta que ha transcurrido suficiente tiempo que permita que cada cambio de temperatura en la superficie penetre a través de la pared. La figura 4-13 representa un sólido semiinfinito.

Como se aprecia en la figura 4-13, el cuerpo se extiende a infinito en la dirección +x, direcciones  ± y y y direcciones ± z. Esto sencillamente significa que el cuerpo es de un tamaño suficientemente grande como para tener siempre algún valor de x en el cual no se manifiesta cualquier cambio de temperatura que ocurra en x =0.

Permitanos resolver el problema del cuerpo semiinfinito para el caso en que todo el cuerpo se encuentra a la temperatura To, y en el tiempo t igual a cero, la temperatura de la cara en x=0 se eleva instantaneamente a la temperatura Ts partiendo de la ecuación de difusión, ecuación (4-7), tenemos.


Problema de Esfera sólida de radio ro

Considere una bola de acero sólida (20% Cr) cuyo D.E. es de 25mm que tiene una temperatura de 600°C y se templa en un recipiente que contiene aceite a 40°C. El coeficiente convectivo de transferencia de calor entre la superficie de la esfera y el aceite es de 1 500 W/m².K. Determine la temperatura en el centro y la temperatura en un punto que se encuentra a 1.25 mm de la superficie después de que la esfera ha estado en el aceite durante el primer medio minuto.




Comentarios
De la parte (1), tenemos que la temperatura en el centro es de 13 °C mayor que en el punto situado a 1.25mm de la superficie. Además, puesto que Bi>0.1, no se aplica el concepto de resistencia interna despreciable. De la parte (2), podemos ver que finalmente la esfera conductora pierde durante el primer medio minuto el 86% del calor que posee al principio.

domingo, 10 de noviembre de 2013

Perdida de calor sin dimension U/Uo de un cilindro largo cuyo radio es ro

Perdida de calor sin dimension U/Uo de un cilindro largo cuyo radio es ro, con el tiempo, según Fundamentals of Heat Transfer por H. Grober, S. Erk, y H Grigull


Temperatura como funcion de la temperatura del eje para un cilindro largo de radio ro, segun Heisler


sábado, 9 de noviembre de 2013

Temperatura del eje de un cilindro largo cuyo radio es ro Según Heisler

Bi = hro/2k


Perdida de calor sin dimensiones U/Uo de una esfera cuyo radio es ro

Perdida de calor sin dimensiones U/Uo de una esfera cuyo radio es ro, con el tiempo, según Fundamentals of Heat TRansfer H. Grober, S. Erk y H. Grigall.

jueves, 7 de noviembre de 2013

Esfera sólida de radio ro

Para determinar la distribución de temperatura radial en una esfera sólida con temperatura inicial. To, y situada en un medio ambiente convectivo, es posible usar soluciones analiticas o por cartas si Bi > 0.1. La solución analítica es compleja también y contiene soluciones de Legendre en sus expresiones. Por lo tanto, usamos una vez más, soluciones por cartas en el texto. La figura 4-10 nos da la temperatura en el centro para una esfera de radio ro. La figura 4-11 nos da la temperatura en otras posiciones radiales y la figura 4-12 nos da la pérdida de calor sin dimensiones. Estas cartas radiales se usan de la misma manera que las dadas para la pared plana y el cilindro infinito.

Como vemos en la tabla 4-1, la longitud caracteristica para una esfera es (ro/3), por lo tanto el número de Biot para nuestros fines se define como (hro/3k).

En todas las soluciones por cartas que se presentan, siempre que el recíproco del número de Biot (k/hLc) es igual a cero en un problema dado, esta situación corresponde a un valor dado de h → ∞ 0 al caso en que la temperatura en la superficie del cuerpo se eleva inmediatamente a al temperatura T∞, del fluido que lo rodea en el tiempo t, igual a cero. Por otra parte, si la cantidad (k/hLc) es muy grande y tiende a infinito, tenemos el caso en que h → 0, o la situación en que la superficie está térmicamente aislada.

Cilindro largo con radio ro

Para determinar la distribución de temperatura radial en un cilindro largo (infinito) cuya temperatura inicial es To, y situado en un medio ambiente convectivo, se deben usar soluciones analíticas o por cartas si Bi > 0.1. La solución analítica es compleja y contiene funciones de Bessel. Se cuenta con soluciones por cartas y se utilizan en este blog. La figura 4-7 nos da la temperatura en el eje (línea central) para un cilindro infinito de radio ro. La figura 4-8 nos da las temperaturas en otras posiciones radiales como función de la temperatura del eje, y la figura 4-9 nos da la pérdida de calor sin dimensiones. Se usan estas cartas del mismo modo que usamos las que se dan para la pared plana de espesor 2L. Como se observa en la tabla 4-1, la longitud caracteristica para un cilindro largo es (ro/2), por lo tanto el número de Biot, para nuestros fines, se define como (hro/2k)

miércoles, 6 de noviembre de 2013

Pared plana - solución analítica (II)

El problema básico a discutir es aquel en que una placa que no experimenta pérdida de calor en las direcciones y y z, que tiene una temperatura inicial uniforme, To, se coloca en un medio ambiente convectivo que se encuentra a una temperatura, T∞. La transferencia de calor por convección que ocurre en cada cara está caracterizada por un coeficiente de transferencia de calor igual a h en cada cara. Dichas situaciones ocurren cuando una placa de metal caliente se retira de un horno para tratamiento con calor, y se coloca en un recipiente con aceite con el fin de templarla. El número de Biot es mayor que 0.1 por lo que no se puede usar la técnica de la resistencia interna despreciable. Las condiciones en la frontera consisten en que en x = ± L,el calor que se conduce hacia la superficie se transfiere al exterior por convección, o




Este problema se resuelve usando la técnica de seperación de variables, que se discutio antes.

La solución de este problema es, más bien, largo y tedioso, lo ha trabajado un gran número de personas y lo han llevado a la forma de cartas. La solución es: